Relativité Générale - LUTh - Observatoire de Paris

30 Cadre géométrique
la métrique g. Vérifions-le explicitement, en utilisant le fait que dans la base orthonormale
(eα) le produit scalaire est donné par (2.63) :
a0 · a1 = gαβ a α 0 a β
1 = ηαβ a α 0 a β
1 = − √ 2 × 1 + 1 × √ 2 + 0 × 0 + 0 × 0 = 0. (2.68)
De plus, a0 et a1 sont des vecteurs unitaires, a0 étant du genre temps et a1 du genre
espace :
a0 · a0 = ηαβ a α 0 a β
0 = − √ 2 × √ 2 + 1 × 1 + 0 × 0 + 0 × 0 = −1, (2.69)
a1 · a1 = ηαβ a α 1 a β
1 = −1 × 1 + √ 2 × √ 2 + 0 × 0 + 0 × 0 = 1. (2.70)
Ainsi la « norme » du vecteur a1 pour la métrique g est la même que celle du vecteur e1,
à savoir 1, bien que sur la Fig. 2.7 ces deux vecteurs soient représentés par des flèches de
longueurs différentes.
A l’inverse de a0 et a1, les vecteurs u et v sont représentés sur la Fig. 2.7 par des
flèches perpendiculaires, alors qu’ils ne sont pas orthogonaux pour la métrique g :
u · v = ηαβ u α v β = −1 × 1 + 1 × (−1) + 0 × 0 + 0 × 0 = −2 = 0. (2.71)
Remarquons par ailleurs que ces vecteurs sont du genre lumière :
u · u = ηαβ u α u β = −1 × 1 + 1 × 1 + 0 × 0 + 0 × 0 = 0, (2.72)
v · v = ηαβ v α v β = −1 × 1 + (−1) × (−1) + 0 × 0 + 0 × 0 = 0. (2.73)
Les vecteurs a0 et a1 étant orthogonaux et unitaires, avec a0 · a0 = −1 et a1 · a1 = 1,
ils forment le début d’une base orthonormale, que l’on peut compléter par exemple par
e2 et e3. On définit ainsi la nouvelle base orthonormale
(e ′ α) = (a0, a1, e2, e3). (2.74)
Le changement de base (eα) → (e ′ α) est donné par les relations
a0 = √ a1 =
2e0 + e1
e0 + √ 2e1
et
e0 = √ e1 =
2a0 − a1
−a0 + √ 2a1
, (2.75)
que l’on déduit aisément de (2.67). Dans la base (e ′ α) les composantes des vecteurs e0,
e1, u et v sont les suivantes
e α′
0 = ( √ 2, −1, 0, 0), e α′
1 = (−1, √ 2, 0, 0), u α′
= ( √ 2 − 1, √ 2 − 1, 0, 0),
v α′
= ( √ 2 + 1, − √ 2 − 1, 0, 0). (2.76)
Nous avons souligné plus haut que la représentation des vecteurs (e0, e1) par des flèches
perpendiculaires sur la Fig. 2.7 était un choix arbitraire. Dessinons alors une nouvelle
figure en privilégiant la base orthonormale fondée sur (a0, a1) plutôt que (e0, e1), c’est-àdire
en représentant a0 et a1 par deux flèches perpendiculaires, l’une verticale et l’autre
horizontale. Le dessin des vecteurs e0, e1, u et v se déduit alors des composantes (2.76).
On obtient alors la Fig. 2.8. Elle est d’aspect très différent de la Fig. 2.7, mais soulignons