Relativité Générale - LUTh - Observatoire de Paris

234 Problèmes
5 Montrer que
u r
ε2 RS
= ± − 1 + . (B.124)
c4 r
À quel type de mouvement correspond le signe + (resp. le signe −) dans l’expression
ci-dessus ?
6 Dans tout ce qui suit on suppose que la particule P tombe vers le trou noir depuis
r = +∞. On désigne par Γ le facteur de Lorentz de P par rapport à un observateur
statique situé très loin du trou noir (en r → +∞). Justifier la relation
ε = Γc 2 . (B.125)
En déduire que si la particule tombe depuis l’infini avec une vitesse nulle (par rapport à
l’observateur statique), alors
u 0 =
1
1 − RS
r
et u r = −
RS
r
. (B.126)
7 Déduire de (B.126) que le mouvement de P est régi par l’équation différentielle
dr
dt
= −c
RS
Quelle est la limite newtonienne de cette équation ?
r
1 − RS
. (B.127)
r
8 Les composantes covariantes de la 4-vitesse de P sont définies par uα := gαβuβ .
Montrer que
RS/r
uα = −1, − , 0, 0 .
1 − RS/r
(B.128)
9 Montrer qu’il existe une fonction T = T (t, r) telle que
uα = −c ∂T
. (B.129)
∂xα Exprimer T en fonction de t, r, RS et c. On donne la primitive
√
x
x − 1 dx = 2√ √
x + ln
x − 1
√
x + 1
. (B.130)
10 On note τ le temps propre de la particule P. En utilisant (B.126) et (B.127),
montrer que le long de la ligne d’univers de P
dτ = dt + 1
c
RS/r
dr. (B.131)
1 − RS/r