Relativité Générale - LUTh - Observatoire de Paris

286 Solutions des problèmes
On a, puisque k µ = (N −2 , 1, 0, 0),
( k · u) = gµνk µ u ν = (−N 2 )k 0 u 0 + N −2 k r u r = −u 0 + ur
.
N 2
Le fait que f · u = 0 découle immédiatement de
u ·
k + ( k · u) u = u · k + ( k · u)(u · u )
= 0.
−1
6 Si u r = 0, on a k · u = −u 0 et les composantes r et ϕ de la 4-force se réduisent à (on
utilise k r = 1 et k ϕ = 0)
f r = L0
4πc 3
σ
f ϕ = − L0
4πc 3
r 2 u0 ,
σ
r 2 (u0 ) 2 u ϕ .
Compte tenu des expressions de a r et a ϕ obtenues à la question 4 (où l’on fait u r = 0), la
relation ma α = f α conduit à
1 du
c
r
dτ
1 du
c
ϕ
dτ
GM
+
c2r2 + r(uϕ ) 2
3GM
c2r L0
= −
4πc3 σ
mr2 (u0 ) 2 u ϕ .
− 1 = L0
4πc3 Or l’expression de u 0 obtenue à la question 4 s’écrit, avec u r = 0,
u 0 = 1
1 + (ru
1 + (ruϕ ) 2 =
N
ϕ ) 2
1 − RS/r
σ
u0
mr2 En reportant cette relation dans les équations ci-dessus, on obtient (B.119)-(B.120).
Pour une orbite exactement circulaire, u ϕ est constant, de sorte que du ϕ /dτ = 0. En
effet, les solutions d’orbites circulaires dans la métrique de Schwarzschild sont obtenues
pour L0σ = 0 (pas de pression de radiation). Elles vérifient u r = 0 et du r /dτ = 0 puisque
r est constant sur une telle orbite. L’Éq. (B.119) avec L0σ = 0 donne alors
cu ϕ =
GM
r 3
1 − 3RS
−1/2 ,
2r
ce qui montre bien que u ϕ est constant. L’Éq. (B.120) avec L0σ = 0 est alors identiquement
satisfaite. Si L0σ = 0, l’Éq. (B.120) implique qu’il ne peut exister d’orbites circulaires.
L’étude détaillée de l’effet Poynting-Robertson en relativité générale a été effectuée
récemment par Bini, Jantzen et Stella (2009) [42].