Relativité Générale - LUTh - Observatoire de Paris

42 Cadre géométrique
Fig. 2.16 – Orthogonalité de
AM et u pour M simultané à A et infiniment voisin de L0.
de O (resp. O ′ ) en O. Au bout d’un temps propre infinitésimal dτ ′ , O ′ se trouve au point
A (cf. Fig. 2.17). Soit alors τ + dτ la date attribuée par O à l’événement A (suivant la
procédure décrite au § 2.5.1). Contrairement à ce que prédit la physique newtonienne, dτ
n’est pas égal à dτ ′ . Le rapport de ces deux intervalles de temps propre (l’un pour O,
l’autre pour O ′ ) définit le facteur de Lorentz Γ de O ′ par rapport à O :
dτ = Γdτ ′ . (2.98)
Exprimons le facteur de Lorentz en fonction des 4-vitesses u et u ′ de respectivement O
et O ′ . Soit B le point de L considéré comme simultané à l’événement A par l’observateur
O. Notons dτ v le vecteur déplacement infinitésimal joignant B à A. Ce vecteur appartient
à l’espace local de repos de l’observateur O ; il est donc orthogonal à u. Le vecteur v est la
vitesse de O ′ relativement à O, à savoir le déplacement de O ′ par unité de temps propre
de O. Étant donné que u et u ′ sont des vecteurs unitaires, on a l’égalité vectorielle (cf.
Fig. 2.17) :
cdτ ′ u ′ = cdτ u + dτ v, (2.99)
d’où, en utilisant (2.98),
u ′
= Γ u + 1
c v
. (2.100)
Par ailleurs, v est dans l’espace local de repos de O en A, si bien que
Le produit scalaire de (2.100) par u conduit alors à
u · v = 0. (2.101)
Γ = −u · u ′ , (2.102)