Relativité Générale - LUTh - Observatoire de Paris

172 Solutions cosmologiques
Fig. 7.2 – Circle Limit III : peinture de M. C. Escher (1959) représentant l’espace hyperbolique H 2
sous la forme du disque de Poincaré.
On décrit souvent H 3 à l’aide des coordonnées stéréographiques (ˆx, ˆy, ˆz) définies par
ˆx := x
y
z
, ˆy := , ˆz := . (7.13)
w + 1 w + 1 w + 1
Ces coordonnées s’obtiennent par projection stéréographique depuis le point (x, y, z, w) =
(0, 0, 0, −1) sur l’hyperplan w = 0. En posant ˆr 2 := ˆx 2 + ˆy 2 + ˆz 2 , on déduit facilement de
(7.9) que
ˆr 2 =
w − 1
w + 1 .
Puisque sur H 3 , w décrit l’intervalle [1, +∞[, le domaine de variation de ˆr est
0 ≤ ˆr < 1. (7.14)
La projection stéréographique réalise ainsi un difféomorphisme entre H 3 et la boule de
rayon unité de l’hyperplan w = 0 (identifié à R 3 ). Dans ce contexte, cette dernière est
appelée boule de Poincaré. Notons qu’en raison de l’inégalité stricte dans (7.14) la sphère
qui délimite la boule n’est pas incluse dans la boule de Poincaré ; il s’agit donc d’une
boule ouverte. C’est d’ailleurs nécessaire par un simple argument de topologie : la boule
incluant la sphère ˆr = 1 est compacte alors que H 3 ne l’est pas. Les composantes du
tenseur métrique de H 3 dans les coordonnées stéréographiques sont données par
g îˆj dxî dx ˆj =
4
1 − (ˆx 2 + ˆy 2 + ˆz 2 2 2 2
dˆx + dˆy + dˆz
)
. (7.15)