Relativité Générale - LUTh - Observatoire de Paris

188 Solutions cosmologiques
Fig. 7.7 – Espace-temps anti-de Sitter (E , g), vu comme un hyperboloïde dans l’espace pseudoriemannien
R 2,3 . La figure représente en fait seulement la partie τ ∈ [−π, π] de E . Il s’agit d’une coupe
à θ = π/2 et ϕ = 0 (partie X ≥ 0) ou ϕ = π (partie X ≤ 0). Les dimensions suivant Y et Z ont
été supprimées, de sorte que les lignes τ = const (traits noirs) sont en réalité des espaces hyperboliques
H 3 (τ est exprimé en unité de b −1 ). Les lignes rouges représentent des lignes d’univers d’observateurs à
coordonnées (ρ, θ, ϕ) fixes et les droites en trait fin vert sont des géodésiques lumière, aussi bien pour la
métrique g que pour la métrique pseudo-riemannienne de R 2,3 .
7.4.2 Immersion isométrique dans R 2,3
Tout comme nous avons identifié l’espace-temps de de Sitter à un hyperboloïde dans
l’espace de Minkowski à 5 dimensions M5, on peut voir l’espace-temps AdS comme un
hyperboloïde « plongé » dans un espace à 5 dimensions. Ce dernier n’est cependant pas
M5, mais R 5 muni de la métrique
dσ 2 5 = −dU 2 − dV 2 + dX 2 + dY 2 + dZ 2 , (7.66)
où (U, V, X, Y, Z) désigne un élément générique de R 5 . La métrique (7.66) est de signature
(−, −, +, +, +). Elle n’est donc ni riemanienne, ni lorentzienne. Elle fait partie de
la classe plus générale des métriques pseudo-riemanniennes, c’est-à-dire des formes bilinéaires
symétriques non-dégénérées de signature quelconque (cf. § 2.3.1). Nous noterons
R 2,3 l’espace R 5 muni de la métrique (7.66).
Remarque : Suivant cette convention, on pourrait désigner par R 1,4 l’espace-temps de
Minkowski M5 et par R 1,3 l’espace-temps de Minkowkski usuel (i.e. de dimension
4).