Relativité Générale - LUTh - Observatoire de Paris

2.2 L’espace-temps relativiste 19
Remarque : Il convient de souligner que l’espace vectoriel tangent dépend du point considéré
: il y a autant d’espaces vectoriels tangents que de points sur la variété, d’où
l’indice P dans la notation TP (E ) (cf. Fig. 2.4). Cette situation diffère de celle de
l’espace euclidien usuel R 3 , où l’on peut considérer qu’il n’y a qu’un seul espace
vectoriel global : R 3 lui-même.
Dans un changement de coordonnées3 (xα ) ↦→ (xα′ ), les composantes d’un vecteur
v dans la nouvelle base naturelle s’expriment en fonction de celles relative à l’ancienne
suivant
v α′
= ∂xα′
∂xβ vβ . (2.18)
Cette formule se déduit aisément de l’Eq. (2.12) par la loi de composition des dérivations
partielles.
Remarque : Dans les livres de relativité plutôt anciens, on définit les vecteurs comme des
« quadruplets de nombres » (v 0 , v 1 , v 2 , v 3 ) qui se transforment suivant l’Eq. (2.18)
lors d’un changement de coordonnées. Ici (2.18) apparaît plutôt comme une conséquence
de la définition géométrique adoptée.
Dans le cas présent de la variété d’espace-temps E de dimension 4, on qualifie les
vecteurs de quadrivecteurs ou 4-vecteurs, pour les distinguer des vecteurs « ordinaires »
de R 3 .
Il souvent commode d’utiliser d’autres bases vectorielles de TP (E ) que les bases naturelles,
c’est-à-dire des bases vectorielles non associées à un système de coordonnées. Un
exemple de telles bases est constitué des bases orthonormales (la définition précise sera
donnée au § 2.3.3). Ainsi, si (eα) = (e0, e1, e2, e3) est une base de TP (E ), on écrira,
pour tout vecteur v :
v = v α eα . (2.19)
Nous noterons les composantes avec un chapeau sur l’indice, c’est-à-dire v ˆα , lorsqu’il y
aura lieu de les distinguer des composantes liées à une base naturelle.
Exemple : Prenons E = R 4 et un système de coordonnées cartésiennes (x α ) = (t, x, y, z).
Les vecteurs de la base naturelle associée sont les vecteurs
⎧
⎪⎨
⎪⎩
∂t = (1, 0, 0, 0)
∂x = (0, 1, 0, 0)
∂y = (0, 0, 1, 0)
∂z = (0, 0, 0, 1).
(2.20)
Les coordonnées sphériques (xα′ ) = (t, r, θ, ϕ) sont définies à partir des coordonnées
cartésiennes (t, x, y, z) suivant (cf. Fig. 2.5)
⎧
⎨
⎩
x = r sin θ cos ϕ
y = r sin θ sin ϕ
z = r cos θ.
(2.21)
3 suivant l’usage en relativité, on met le symbole prime sur l’indice α alors qu’il serait plus correct de
le mettre sur x