Relativité Générale - LUTh - Observatoire de Paris

66 Champ gravitationnel à symétrie sphérique (métrique de Schwarzschild)
(3.50) et (3.52), il vient
En particulier, au point d’émission,
et au point de réception,
E = −u 0 ξ(0)
· p c
= −c 1 − 2GM
c2r −1/2
Eem = −c 1 − 2GM
c2 −1/2 (
rem
ξ(0) · p)em
ξ(0) · p. (3.54)
(3.55)
Erec = −c 1 − 2GM
c2 −1/2 (
rrec
ξ(0) · p)rec. (3.56)
Or d’après (3.48), la quantité ξ(0) · p est conservée le long de la géodésique lumière :
( ξ(0) · p)rec = ( ξ(0) · p)em. (3.57)
Les expressions (3.55) et (3.56) conduisent alors à la relation suivante entre l’énergie
mesurée à l’émission et celle mesurée à la réception :
Erec =
⎛
⎜1
−
⎜
⎝
2GM
c2 rem
1 − 2GM
c2 ⎞
⎟
⎠
rrec
1/2
Eem . (3.58)
Puisque l’énergie des photons est reliée à leur longueur d’onde par E = hc/λ, on en
déduit immédiatement la relation entre les longueurs d’ondes mesurées à l’émission et à
la réception :
λrec =
⎛
⎜1
−
⎜
⎝
2GM
c2 rrec
1 − 2GM
c2 ⎞
⎟
⎠
rem
ou de manière équivalente le décalage spectral
1/2
z := λrec
⎛
− λem ⎜1
−
= ⎜
λem
⎝
2GM
c2 rrec
1 − 2GM
c2 ⎞
⎟
⎠
rem
λem, (3.59)
1/2
− 1 . (3.60)
Il s’agit-là du décalage spectral gravitationnel ou effet Einstein. Soulignons qu’il s’agit
d’un pur effet de relativité générale et non d’un décalage Doppler. Les observateurs Oem