Relativité Générale - LUTh - Observatoire de Paris

Compte tenu des symboles de Christoffel (B.21)-(B.23), il vient
d2r − r
dτ 2
C.3 Trou de ver 253
2 dθ
− r sin
dτ
2 θ
2 dϕ
= 0.
dτ
Pour des géodésiques purement radiales dθ/dτ = 0 et dϕ/dτ = 0, de sorte que l’équation
cherchée est
d2r = 0.
dτ 2
6 La solution générale de l’équation ci-dessus est bien évidemment une fonction affine
de τ, que l’on peut écrire comme (B.24).
Les composantes u α de la 4-vitesse sont données par (cf. Éq. (2.85) du cours)
u α = 1 dx
c
α
dτ .
Dans le cas présent, on en déduit ur = c−1dr/dτ = V/c, uθ = 0 et uϕ = 0, soit
u α
= u 0 , V
, 0, 0 .
c
La composante u 0 est déterminée par la condition de normalisation u · u = −1 :
gαβu α u β = −1 ⇐⇒ g00 (u 0 ) 2 + 2 g0r
−1
0
⇐⇒ −(u 0 ) 2 2 V
+ = −1
c2
⇐⇒ u 0 =
1 +
V 2
,
c2 0 V
u
c
+ grr
1
V 2
= −1
c2 où nous avons utilisé le fait que u0 > 0 puisque u est orienté vers le futur. Les composantes
de la 4-vitesse le long d’une géodésique radiale du genre temps sont donc
u α
=
V 2 V
1 + , , 0, 0
c2 c
.
Pour V = 0, l’Éq. (B.24) se met sous la forme
τ =
r − r0
.
V
On en déduit que lorsqu’on se rend de r = r0 à r = −r0, le temps propre écoulé est
τ = 2|r0|
|V | .