Relativité Générale - LUTh - Observatoire de Paris

4.2 Dérivation covariante (connexion) 103
Remarquons que la dérivée partielle qui apparaît dans cette équation suppose que u est
un champ vectoriel défini dans un voisinage ouvert autour de L . Or a priori, u n’est défini
que sur L . En toute rigueur, il faudrait donc introduire une extension u∗ de u autour de
L , c’est-à-dire un champ vectoriel défini sur un ouvert qui contient L et qui vérifie
u α ∗ (X β (τ)) = u α (τ). (4.55)
La contraction avec u ν dans (4.54) fait que le résultat est indépendant du choix de l’extension
u∗. En effet, en dérivant (4.55) par rapport à τ, il vient
c’est-à-dire, au vu de (4.50),
En reportant dans (4.54), on obtient
∂u α ∗
∂x ν
dX ν
dτ
c u ν ∂uα ∗
duα
= , (4.56)
dτ
duα
= . (4.57)
∂xν dτ
1 du
c
α
dτ + γα µνu µ u ν = 0. (4.58)
En comparant les Eqs. (4.49) et (4.58), on conclut immédiatement que pour que la
connexion ∇ assure le transport parallèle des vecteurs tangents aux géodésiques de (E , g),
il faut, et il suffit, que les coefficients de connexion relatifs à n’importe quelle base naturelle
soient égaux aux symboles de Christoffel de la métrique g par rapport aux coordonnées
définissant ladite base naturelle :
γ α µν = Γ α µν . (4.59)
Puisque nous avons vu au § 4.2.2 que les coefficients de connexion γ α µν définissent entièrement
∇, la condition (4.59) fixe entièrement la connexion ∇. C’est l’unique connexion
sur l’espace-temps (E , g) que nous utiliserons désormais. Elle est parfois appelée
connexion riemannienne ou connexion de Levi-Civita, ou encore connexion de Christoffel.
Une propriété importante de la connexion riemannienne est que les coefficients de
connexion sont symétriques dans les deux indices du bas, puisque les symboles de Christoffel
le sont, ainsi qu’il est clair sur l’expression (4.51). Une conséquence importante est
la suivante. Considérons la dérivée covariante du gradient d’un champ scalaire f ; elle
s’obtient via la formule (4.40) :
∇β∇αf = ∂
∂x β ∇αf − Γ σ αβ ∇σf
= ∂2 f
∂x β x α − Γσ αβ
∂f
. (4.60)
∂xσ Ainsi, puisque les dérivées partielles commutent et que Γσ αβ est symétrique en αβ, il vient
∇β∇αf = ∇α∇βf . (4.61)