Relativité Générale - LUTh - Observatoire de Paris

80 Champ gravitationnel à symétrie sphérique (métrique de Schwarzschild)
où r∗ désigne rper ou rapo. Les valeurs de rper et rapo s’obtiennent donc comme les racines
de l’équation du troisième ordre ci-dessus.
Établissons à présent l’équation de l’orbite, sous la forme d’une équation différentielle
pour la fonction ϕ(r). On tire de (3.93) que
dr ε2 = ±
dτ c2 − c2
ε
− 2Veff = ±c
2
− 1 −
c4 RS
1 +
r
¯ ℓ2 R2 S
r2
, (3.131)
où, pour obtenir la deuxième égalité, nous avons utilisé la forme (3.100) pour Veff(r). Par
ailleurs, dϕ/dτ est donné par (3.86) avec sin θ = 1 :
dϕ
dτ
ℓ
= . (3.132)
r2 En combinant (3.131) et (3.132), on élimine τ (dϕ/dr = dϕ/dτ × dτ/dr) et on obtient
l’équation cherchée :
dϕ
dr
ℓ
= ±
c r2 2 ε
− 1 −
c4 RS
1 +
r
¯ ℓ 2 R2 S
r2 −1/2 . (3.133)
Examinons la limite newtonienne de cette équation. À cette fin, utilisons (3.95) pour
exprimer ε en fonction de la quantité E0 qui tend vers l’énergie mécanique newtonienne.
Il vient
dϕ
dr
ℓ
= ±
r2
2 + E0
mc2
E0 2GM
+
m r −
1 − RS
r
ℓ 2
r 2
−1/2
. (3.134)
Cette équation reste tout à fait générale : ce n’est qu’une réécriture de (3.133) qui fait
apparaître E0 à la place de ε et où l’on a remplacé un terme RS par 2GM/c 2 , ainsi que
¯ℓRS par ℓ/c. Nous sommes maintenant en mesure de prendre la limite newtonienne : elle
consiste à faire E0/(mc 2 ) ≪ 1 et RS/r ≪ 1. Il vient ainsi
dϕ
dr
ℓ
= ±
r2
2 E0 2GM
+
m r
ℓ2
−
r2 −1/2 En posant u = 1/r, cette équation devient
dϕ
du
ℓ
(lim. newtonienne). (3.135)
= ∓
2 E0
m + 2GMu − ℓ2u 2
. (3.136)
Par un changement de variable affine u ′ = au+b, l’Eq. (3.136) s’intègre en ϕ = arccos u ′ +
ϕ0, de sorte qu’il vient
u = 1
r
1
= (1 + e cos ϕ), (3.137)
p
où p et e sont les fonctions suivantes de E0 et ℓ :
p = ℓ2
GM
et
2E0ℓ2 e = 1 +
G2 .
M 2 (3.138)