Relativité Générale - LUTh - Observatoire de Paris

C.1 Décalage spectral au voisinage de la Terre 247
Par ailleurs, d’après l’Éq. (2.98) du cours, dτ∗ = Γdτ. On peut aussi l’établir à partir de
(B.2) et (B.3) :
dτ
dτ∗
= dτ
dt
dt
dτ∗
= (u 0 ) −1 u 0 ∗ = Γ −1
1 − Φ
c2 −1
1 − Φ
c2
= Γ −1 .
On a donc, en utilisant successivement (B.3) et (B.2),
v = Γ −1
c
= c Γ −1
u − u∗ ,
u r ∂r + u θ ∂θ + u ϕ ∂ϕ
= Γ −1
c u − u 0
∂0
= c Γ −1
u − 1 − Φ
c2
∂0
d’où la relation (B.5).
Au vu de (B.5), la condition de normalisation u · u = −1 s’écrit
Γ 2 ( u∗ · u∗ +
−1
2
c u∗ · v +
0
1
v · v) = −1.
c2 On en déduit immédiatement la relation (B.6) entre Γ et v. Cette relation est identique
à celle de la relativité restreinte.
6 L’énergie du photon mesurée par S est (cf. Éq. (2.104) du cours)
E = −u∗ · p c = −c 1 − Φ
c2
∂0 · p = cK 1 − Φ
c2
,
avec K := − ∂0 · p. Notons que ∂0 · p = g0αp α = g00p 0 = −(1 + 2Φ/c 2 )p 0 , ce qui établit la
deuxième égalité dans (B.8).
7 Le vecteur n est orthogonal au vecteur u, car P l’est par construction.
La 4-impulsion d’un photon est nécessairement un vecteur du genre lumière ; on a donc
successivement
p · p = 0
E
c u∗
E
+ P n ·
c u∗
+ P n = 0
E2 c2 u∗
P E
· u∗ +2 u∗ · n +P
c
−1
0
2 n · n = 0
1
P 2 = E2
c 2
P = E
c .
On retrouve donc la même relation P = E/c qu’en relativité restreinte. Combinée à (B.7),
elle conduit à (B.10). La relation (B.9) permet alors d’écrire (B.11).