Relativité Générale - LUTh - Observatoire de Paris

120 Équation d’Einstein
les composantes non diagonales étant nulles. En reportant ces valeurs dans les composantes
(4.163)-(4.166) de l’équation d’Einstein, il vient
2rα ′ e −2α − e −2α + 1 = 8πG
c2 r2ρ (4.188)
(2rν ′ + 1)e −2α − 1 = 8πG
c4 r2p ν
(4.189)
′′ + (ν ′ ) 2 − ν ′ α ′ + 1
r (ν′ − α ′ ) = 8πG
c4 p e2α . (4.190)
Par analogie avec la métrique de Schwarzschild, effectuons le changement de variable
suivant :
e −2α(r) =: 1 − 2Gm(r)
c2 ,
r
(4.191)
où m(r) est la nouvelle inconnue. En remarquant que
2α ′ e −2α(r) = − d
dr e−2α(r) = − d
1 −
dr
2Gm(r)
c2
=
r
2G
c2 ′ m (r) m(r)
−
r r2
, (4.192)
l’Eq. (4.188) se simplifie considérablement et devient
m ′ (r) = 4πr 2 ρ. (4.193)
Dans le cas de Schwarzschild, on aurait eu ρ = 0 (vide) et donc m(r) = const. = M.
De son côté, l’Eq. (4.189) devient, lorsqu’on y reporte (4.191),
ν ′ (r) = G
c2
1 − 2Gm(r)
c2 −1
m(r) p
+ 4πr
r r2 c2
. (4.194)
Enfin, plutôt que d’utiliser la composante (4.190) de l’équation d’Einstein, il est plus
commode de considérer l’équation de conservation de l’énergie-impulsion ∇ · T = 0
[Eq. (4.139)]. Rappelons qu’en vertu de l’identité de Bianchi, cette équation est une conséquence
de l’équation d’Einstein. Dans le cas présent, elle n’a qu’une seule composante non
nulle, la composante r, qui s’écrit très simplement
dp
dr + (ρc2 + p) dν
= 0. (4.195)
dr
Posons
ν(r) =: Φ(r)
, (4.196)
2
de manière à ce qu’à la limite non relativiste, Φ(r) redonne le potentiel gravitationnel
newtonien [comparer le terme g00 dans (4.146) et (4.143)]. On peut alors réécrire les
équations (4.193), (4.194) et (4.195) sous la forme
c
dm
dr = 4πr2 ρ(r) (4.197)
dΦ
dr =
1 − 2Gm(r)
c2 −1
Gm(r)
r r2 p(r)
+ 4πGr
c2
(4.198)
dp
= − ρ(r) +
dr p(r)
c2
dΦ
.
dr
(4.199)