Relativité Générale - LUTh - Observatoire de Paris

62 Champ gravitationnel à symétrie sphérique (métrique de Schwarzschild)
Alors, d’après (3.30) et (3.31), la quantité u (resp. v) est constante sur les géodésiques
lumière radiales sortantes (resp. entrantes).
On appelle coordonnées d’Eddington-Finkelstein sortantes
(resp. coordonnées d’Eddington-Finkelstein entrantes) les coordonnées (x ˜α ) = (u, r, θ, ϕ)
(resp. (x ˜α ) = (v, r, θ, ϕ)). Pour obtenir les composantes du tenseur métrique dans ces
coordonnées, on peut utiliser la loi (2.57) de transformation des composantes tensorielles,
mais nous suivrons ici une autre route. On a en effet, en différenciant (3.33),
d’où
Ainsi
du = c dt − dr − 1
r dr = c dt −
− 1
RS
r
RS
r
RS
− 1 dr
du = c dt − dr
1 − RS
, (3.35)
r
du 2 = c 2 dt 2 c dt dr
− 2
1 − RS
dr
+
r
2
RS
2
1 − r
1 − RS
du
r
2
= 1 − RS
c
r
2 dt 2 +
dr2
− 2c dt dr
RS 1 − r
1 − RS
du
r
2
= 1 − RS
c
r
2 dt 2 +
dr2
− 2 RS 1 − r
1 − RS
r
−
du 2 =
1 − RS
r
1 − RS
c
r
2 dt 2 +
c 2 dt 2 −
dr2
1 − RS
r
dr2
1 − RS
r
du + dr
1 − RS
r
dr
− 2 du dr. (3.36)
= − 1 − RS
du
r
2 − 2 du dr. (3.37)
Le membre de gauche de cette équation n’est autre que la somme des deux premiers
termes de l’élément de longueur ds 2 = gαβ dx α dx β donné par (3.6). On en déduit immédiatement
les composantes du tenseur métrique par rapport aux coordonnées d’Eddington-
Finkelstein sortantes :
g˜α β˜ dx ˜α dx ˜
β
= − 1 − 2GM
c2
du
r
2 − 2 du dr + r 2 dθ 2 + sin 2 θ dϕ 2 . (3.38)
On peut faire plusieurs remarques sur cette expression :
• contrairement aux composantes gαβ dans les coordonnées de Schwarzschild, ou aux
composantes g ¯α ¯ β dans les coordonnées isotropes, les composantes g ˜α ˜ β ne sont pas
diagonales, puisque gur = −1 = 0.
• grr = 0 ; comme ∂r · ∂r = grr, cela signifie que le vecteur ∂r de la base naturelle
associée aux coordonnées (u, r, θ, ϕ) est du genre lumière.
Attention : ce vecteur ∂r n’est pas le même que le vecteur ∂r de la base naturelle