Relativité Générale - LUTh - Observatoire de Paris

Chapitre 4
Équation d’Einstein
Sommaire
version 2012-2013
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.2 Dérivation covariante (connexion) . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.3 Tenseur de courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.4 Tenseur énergie-impulsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.5 Équation d’Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.6 Solutions statiques et à symétrie sphérique . . . . . . . . . . . 116
4.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.1 Introduction
L’équation d’Einstein est l’équation fondamentale de la relativité générale : c’est elle
qui détermine le tenseur métrique g en fonction du contenu en énergie-impulsion de
l’espace-temps. À la limite newtonienne, elle se réduit à l’équation de Poisson ∆Φ = 4πGρ,
reliant le potentiel gravitationnel Φ à la densité de masse ρ. Avant de l’aborder, il nous faut
quelques compléments de géométrie par rapport à ceux introduits au Chap. 2, à savoir la
notion de dérivation covariante et de courbure. Il nous faudra également quelques compléments
de physique, pour aller au delà de la description de la matière par des « particules
matérielles » utilisée dans les Chap. 2 et 3. Nous allons en effet introduire une description
continue de la matière, basée sur un champ tensoriel que l’on appelle le tenseur énergieimpulsion.
Ce traitement permet notamment de prendre en compte le cas d’un fluide,
très important pour l’astrophysique. Avec ces deux outils, courbure d’une part, et tenseur
énergie-impulsion d’autre part, nous serons alors en mesure d’écrire l’équation d’Einstein.