Relativité Générale - LUTh - Observatoire de Paris

150 Ondes gravitationnelles
On peut l’établir pour le tenseur de Ricci en injectant (6.36) dans (6.16) :
R ′ αβ = Rαβ. (6.39)
Pour le tenseur de Riemann, il faudrait obtenir d’abord une expression analogue à (6.16).
Exercice : le faire et en déduire (6.38).
Autrement dit, on peut considérer la gravitation linéarisée comme une théorie des
champs sur l’espace-temps de Minkowski, avec un potentiel tensoriel hαβ dont les transformations
de jauge sont de la forme (6.36). ξα ne s’interprète alors plus comme un change-
ment de coordonnées mais comme le potentiel donnant le changement de jauge. Le champ
physique qui dérive du potentiel hαβ est le tenseur de Riemann Rα βµν , qui est invariant
de jauge. Il représente le champ gravitationnel, de la même manière que les vecteurs E
et B représentent le champ électromagnétique et dérivent du potentiel Aα qui est sujet à
des transformations de jauge.
Pour cette raison, on qualifie le changement de coordonnées infinitésimal (6.26) de
changement de jauge.
6.3.3 Jauge de Lorenz
On dit que le potentiel ¯ hαβ satisfait à la jauge de Lorenz (on rencontre aussi parfois
l’appellation jauge de Hilbert [20]) ssi
c’est-à-dire [cf. (6.23)]
∂
∂x µ
η
µν¯
hαν = 0 , (6.40)
Vα = 0. (6.41)
Cette dénomination se fait par analogie avec l’électromagnétisme, où la jauge de Lorenz 1
est définie par l’annulation de la divergence du 4-potentiel :
∂
∂x µ (ηµν Aν) = 0. (6.42)
Montrons que l’on peut toujours trouver un changement de coordonnées infinitésimal
ξ α qui conduise à la jauge de Lorenz. Constatant que la loi de transformation de jauge
(6.36) conduit à la loi suivante pour la trace de hαβ :
h ′ = h − 2 ∂ξµ
, (6.43)
∂x µ
1 Il s’agit bien de Lorenz, du nom du physicien danois Ludvig Valentin Lorenz (1829-1891), et non de
Lorentz, qui désigne le physicien hollandais Hendrik Antoon Lorentz (1853-1928). Ce dernier a donné son
nom à la transformation de Lorentz, au facteur de Lorentz et à la force de Lorentz, mais pas à la jauge,
qui a été publiée en 1867 par L. Lorenz (cf. par exemple Ref. [57]). De nombreux ouvrages se trompent
sur ce point (dont les célèbres manuels de Jackson (2ème édition, mais pas 3ème), Landau & Lifchitz et
Feynman).