Relativité Générale - LUTh - Observatoire de Paris

B.14 Gravité de surface d’un trou noir 239
Montrer que l et k sont des vecteurs du genre lumière et que, de plus,
6 On admettra que le tenseur défini par
l · k = −1. (B.152)
K := ρ 2 (l ⊗ k + k ⊗ l) + r 2 g (B.153)
[en composantes : Kαβ = ρ 2 (lαkβ + kαlβ) + r 2 gαβ] est un tenseur de Killing. Il s’agit
d’ailleurs d’un tenseur de Killing dérivé d’un tenseur de Killing-Yano suivant la formule
(B.145). Soit P une particule décrivant une géodésique L dans l’espace-temps de Kerr
et p sa 4-impulsion. Montrer que la constante (B.147) vaut, dans le cas présent,
K = p 2 θ + cos 2
θ a 2 µ 2 − p 2 p
0 + 2 ϕ
sin2
+ (pϕ + ap0)
θ
2 , (B.154)
où µ 2 := −p · p. À quoi correspond le cas µ = 0 ?
7 Rappeler pourquoi les quantités
ε := −p · ∂0 et ℓ := p · ∂ϕ (B.155)
sont constantes le long de L . En déduire que la quantité
Q = p 2 θ + cos 2
θ a 2 µ 2 − p 2 p
0 + 2 ϕ
sin2
θ
est une constante du mouvement, appelée constante de Carter.
(B.156)
Remarque : Dans un espace-temps stationnaire et axisymétrique quelconque, il n’existe
en général que trois constantes le long d’une géodésique L : µ, E et L. L’existence de
la quatrième constante Q est une particularité de l’espace-temps de Kerr, découverte
en 1968 par Brandon Carter [46]. En 1970, Martin Walker et Roger Penrose [70] ont
montré que Q découle de l’existence d’un tenseur de Killing non trivial dans l’espacetemps
de Kerr, à savoir le tenseur (B.153). Ayant 4 constantes du mouvement
(ou intégrales premières) indépendantes dans un espace de dimension 4, on dit que
l’équation des géodésiques de l’espace-temps de Kerr est intégrable.
B.14 Gravité de surface d’un trou noir
1 On considère un trou noir stationnaire en rotation. Par quelle métrique est-il décrit ?
Justifier brièvement la réponse.
2 On souhaite étudier quelques propriétés de l’horizon des événements H. À cette fin, on
ne peut employer les traditionnelles coordonnées de Boyer-Lindquist (x ′α ) = (ct ′ , r, θ, ϕ ′ )
(cf. § 5.5.1) car elles sont singulières sur l’horizon (grr → ∞). Nous allons plutôt utiliser