Relativité Générale - LUTh - Observatoire de Paris

36 Cadre géométrique
simple que si on utilisait un temps quelconque. C’est donc essentiellement pour une
raison de commodité que l’on emploie le temps propre et non le temps donné par
une horloge quelconque (Poincaré 1898).
Lorsque l’on considère un être humain, le temps propre le long de sa ligne d’univers
est également le temps le plus commode pour décrire son évolution physiologique,
étant donnée la nature physique des processus biologiques. En admettant que le temps
physiologique soit bien celui perçu par la conscience, on pourra imaginer le temps
propre le long d’une ligne d’univers comme le temps ressenti par un observateur
humain qui se déplacerait le long de cette ligne d’univers.
Remarque 2: Comme on vient de le voir ci-dessus, la notion physique fondamentale qui
apparaît une fois introduit le tenseur métrique et les lignes d’univers est celle de
temps et non de distance.
2.4.4 Quadrivitesse
L’introduction du temps propre va nous permettre d’associer à chaque ligne d’univers
L un champ de vecteurs tangents indépendant de tout paramétrage. On appelle en effet
quadrivitesse ou 4-vitesse du point matériel dont la ligne d’univers est L le vecteur de
TP (E ) défini en tout point P ∈ L par
u := 1
c
−→
dP
dτ
, (2.84)
où −→
dP est le vecteur déplacement élémentaire de P en un point de L infiniment voisin
(cf. § 2.2.3) et dτ l’élément de temps propre correspondant, suivant (2.80). En terme de
composantes par rapport à un système de coordonnées (xα ), la relation (2.84) s’écrit,
compte tenu de (2.37),
u α = 1 dx
c
α
. (2.85)
dτ
u est par construction un vecteur tangent à L . Le facteur c dans l’Eq. (2.84) fait qu’il
est sans dimension. Si l’on souhaite donner un sens mathématique rigoureux à la dérivée
(2.84), il suffit de considérer le paramétrage de L par son temps propre cτ : u n’est alors
autre que le vecteur tangent correspondant à ce paramétrage. En combinant (2.80) et
(2.84), on constate que u est un vecteur unitaire pour la métrique g :
u · u = −1 . (2.86)
Rappelons que la notation u · u désigne le produit scalaire g(u, u).
Étant donné un paramétrage xα = Xα (λ) de la ligne d’univers L dans un système
de coordonnées (xα ), on a dP α = ˙ Xαdλ [cf. Eq. (2.33)] et dτ = c−1
−gαβ ˙ Xα ˙ Xβ dλ [cf.
Eq. (2.82)]. En reportant ces valeurs dans l’Eq. (2.84), on obtient les composantes de la
4-vitesse par rapport à la base naturelle ∂α :
u α =
˙X α
−gµν ˙ X µ ˙ Xν . (2.87)