Relativité Générale - LUTh - Observatoire de Paris

corps
masse M
[M⊙]
3.2 Métrique de Schwarzschild 57
rayon R
[km]
densité ρ
[kg m −3 ]
paramètre de
compacité Ξ
Terre 3 × 10 −6 6 × 10 3 5 × 10 3 10 −10
Soleil 1 7 × 10 5 10 3 10 −6
naine blanche 0.1 à 1.4 ∼ 10 4 ∼ 10 10 10 −4 à 10 −3
étoile à neutrons 1 à ∼ 3 ∼ 10 ∼ 10 18 ∼ 0.2
trou noir
stellaire
>∼ 3
9
(M = 3 M⊙) 0 0.5
trou noir
massif ∼ 10 9 20 UA 0 0.5
Tab. 3.1 – Caractéristiques moyennes de divers objets astrophysiques et leurs paramètres de compacité
Ξ = GM/(c 2 R) ∼ Rs/R.
(3.9). Ξ est appelé paramètre de compacité, ou encore paramètre de relativité, de l’objet
central. En ordre de grandeur
Ξ ∼ RS
R
∼ |Φsurf|
c 2
|Egrav|
∼
Mc2 , (3.14)
où les deux dernières quantités ne sont bien définies que lorsque le corps central n’est pas
trop relativiste : Φsurf est le potentiel gravitationnel newtonien à la surface de l’objet (sous
l’hypothèse de la symétrie sphérique, Φsurf = −GM/R) et Egrav est l’énergie potentielle
gravitationnelle newtonienne du corps central. Rappelons par exemple, que pour une boule
homogène (densité constante), Egrav = −3/5 GM 2 /R.
Les valeurs de Ξ pour différents objets astrophysiques sont regroupées dans le tableau
3.1. Les objets compacts peuvent être définis comme les objets pour lesquels Ξ >
10 −4 : ce sont donc les naines blanches, les étoiles à neutrons et les trous noirs. Ce sont
des corps dont le champ gravitationnel diffèrent notablement du champ gravitationnel
newtonien, l’écart relatif étant Ξ. Si la relativité générale n’est qu’une petite correction
pour les naines blanches (tout au plus Ξ ∼ 10 −3 ), elle est absolument nécessaire pour
décrire les étoiles à neutrons et évidemment les trous noirs.
Remarque : Il convient de ne pas confondre compacité et densité : la compacité varie
comme M/R, alors que la densité varie comme M/R 3 . Ainsi, on peut avoir des corps
très denses et très peu compacts : par exemple, pour le proton, M = 1.66 × 10 −27 kg
et R 1 fm = 10 −15 m, si bien que ρ = M/(4/3 πR 3 ) = 5 × 10 17 kg m −3 , alors que
Ξ = GM/(c 2 R) 10 −39 . Bien que de même densité que les étoiles à neutrons, le
proton n’est absolument pas un corps compact ! Autrement dit, les effets de relativité
générale sont ultra négligeables à l’échelle du proton. Réciproquement, on peut avoir