Relativité Générale - LUTh - Observatoire de Paris

94 Équation d’Einstein
4.2 Dérivation covariante (connexion)
Nous avons vu au Chap. 2 que sur la variété d’espace-temps E , il y a autant d’espaces
vectoriels tangents TP (E ) que de points P dans E (cf. Fig. 2.4). La question se pose alors
de comparer des vecteurs définis en des points différents. Par exemple, étant donné un
champ vectoriel v sur E , c’est-à-dire la donnée d’un vecteur v(P ) ∈ TP (E ) en tout point
P de E , nous aimerions définir son « gradient » en évaluant v(P ′ ) − v(P ) pour des points
P et P ′ infiniment voisins. Or v(P ′ ) et v(P ) appartenant à des espaces vectoriels différents
— les espaces tangents TP ′(E ) et TP (E ) respectivement — la soustraction v(P ′ ) − v(P )
n’est pas bien définie a priori. La situation est plus simple pour un champ scalaire f :
E → R, puisque la différence f(P ′ ) − f(P ) entre les deux nombres réels f(P ′ ) et f(P )
est évidemment bien définie. Commençons donc par examiner ce cas ; il nous fournira
l’inspiration pour le cas vectoriel.
4.2.1 Gradient d’un champ scalaire
Considérons un champ scalaire f : E → R. Nous avons vu au § 2.2.3 que l’on pouvait
définir le vecteur déplacement élémentaire −→
dP entre deux points de E P et P ′ infiniment
proches. Ce vecteur est un élément de TP (E ) qui vérifie [cf. Eq. (2.35)]
δf := f(P ′ ) − f(P ) = −→
dP (f). (4.1)
Plutôt que de considérer δf comme le résultat du vecteur −→
dP agissant sur le champ
scalaire f, voyons-le comme le résultat d’un opérateur lié à f, que nous noterons ∇f,
agissant sur le vecteur −→
dP . Autrement dit posons
de sorte que (4.1) s’écrit
〈∇f, −→
dP 〉 := −→
dP (f) , (4.2)
δf = 〈∇f, −→
dP 〉 (4.3)
On peut étendre la définition de ∇f aux vecteurs non-infinitésimaux en posant, pour tout
champ vectoriel v ( 1 )
〈∇f, v〉 := v(f). (4.4)
Il est clair que, de par sa définition, ∇f est un opérateur linéaire. Le résultat 〈∇f, v〉
étant en tout point P un nombre réel, nous en déduisons que ∇f est un champ de formes
linéaires, ou encore un champ tensoriel 1-fois covariant, ou encore un champ tensoriel
de type 0
(cf. § 2.2.4). Cela justifie la notation bra-ket, car elle est conforme à celle
1
que nous avons introduite au § 2.2.4 pour les formes linéaires. La forme linéaire ∇f est
appelée gradient de f.
1 Rappelons que le membre de droite de la formule (4.4) n’est autre que l’expression de la définition
première des vecteurs sur une variété comme des opérateurs de dérivation directionnelle agissant sur les
champs scalaires (cf. § 2.2.3).