Relativité Générale - LUTh - Observatoire de Paris

4 Ω étant une constante, on forme le vecteur
B.14 Gravité de surface d’un trou noir 241
ℓ := ξ(0) + Ω
c ξ(z). (B.163)
Quelle doit être la dimension de Ω pour que l’expression ci-dessus soit bien posée ? Sachant
que les vecteurs de Killing ξ sont caractérisés par l’équation suivante, dite équation de
Killing (cf. problème B.2) :
∇αξβ + ∇βξα = 0, (B.164)
le vecteur ℓ est-il un vecteur de Killing ? Si oui, à quelle symétrie d’espace-temps correspondil
?
5 À partir de (B.159), montrer que
2mrH = r 2 H + a 2 . (B.165)
En déduire la valeur suivante des coefficients métriques sur H :
où ρ 2 H = ρ2 H (θ) := r2 H + a2 cos 2 θ.
g00| H = a 2 ρ −2
H sin2 θ (B.166)
g0ϕ| H = −aρ −2
H (r2 H + a 2 ) sin 2 θ (B.167)
gϕϕ| H = ρ −2
H (r2 H + a 2 ) 2 sin 2 θ, (B.168)
6 Déduire des résultats de la question 5 que, sur H, le carré scalaire du vecteur ℓ par
rapport au tenseur métrique g vaut
ℓ ·
ℓ
H
= sin2 θ
ρ 2 H
a − (r 2 H + a 2 ) Ω
2 . (B.169)
c
Quelle doit être, en termes de a et rH, la valeur de Ω pour que ℓ soit du genre lumière sur
l’horizon ? Dans toute la suite du problème, on fixera Ω à cette valeur. Montrer qu’une
expression alternative de Ω est
Ω =
ca
2m m + √ m 2 − a 2.
Que vaut Ω pour un trou noir de Schwarzschild ?
7 Montrer que sur H,
(B.170)
ℓ · ∂t = 0, ℓ · ∂θ = 0, ℓ · ∂ϕ = 0. (B.171)
En déduire que ℓ est normal à l’hypersurface H. Justifier qu’il soit également tangent à
H.
8 On considère le vecteur
h := ∇ ℓ ℓ, (B.172)