Relativité Générale - LUTh - Observatoire de Paris

126 Trous noirs
Fig. 5.1 – Espace-temps de Schwarzschild en coordonnées d’Eddington-Finkelstein 3+1 (c˜t, r, θ, ϕ).
Les lignes en traits continus rouges représentent les hypersurfaces t = const où t est la coordonnée de
Schwarzschild. Les droites en pointillés inclinées à −45◦ représentent les géodésiques lumière radiales
entrantes et les autres lignes en pointillés les géodésiques lumière radiales sortantes. H est l’horizon des
événements, situé en r = RS. Le vecteur de Killing associé à la stationnarité, ξ (0) = c−1 ∂˜t , est une
normale lumière de H. Il est donc tangent à H.
Cela montre bien que les vecteurs ∂˜t et ∂t sont égaux.
En différenciant (5.7), il vient dv = c d˜t + dr, que l’on reporte dans (5.6) pour obtenir
les composantes de la métrique dans les coordonnées d’Eddington-Finkelstein 3+1 :
g˜α β˜ dx ˜α dx ˜
β
= − 1 − RS
c
r
2 d˜t 2 + 2 RS
r c d˜t
dr + 1 + RS
dr
r
2 + r 2 dθ 2 + sin 2 θ dϕ 2 .
(5.12)
Ces composantes ne sont pas singulières en r = RS. En particulier, grr| = 2. On
r=RS
= 0, mais cela n’implique pas que g soit dégénérée en ce point, car la
a certes g˜t˜t|
r=RS
matrice g˜α β˜ n’est pas diagonale. Son déterminant vaut d’ailleurs
det(g ˜α ˜ β ) = −r 4 sin 2 θ. (5.13)
Puisque det(g˜α β ˜) = 0, g n’est donc pas dégénérée en r = RS. Nous concluons donc
r=RS
que la singularité r = RS des coefficients métriques gαβ dans les coordonnées de Schwarzschild
est due à ces coordonnées et ne reflète pas une singularité du tenseur métrique g.
C’est un exemple de ce que l’on appelle une singularité de coordonnées.
L’espace-temps de Schwarzschild est représenté sur la Fig. 5.1 en coordonnées d’Eddington-Finkelstein
3+1. On voit clairement sur cette figure que les coordonnées de Schwarz-