Relativité Générale - LUTh - Observatoire de Paris

4.7 Exercices 121
Ce système d’équations différentielles du premier order en m(r), Φ(r), ρ(r) et p(r) s’appelle
système de Tolman-Oppenheimer-Volkoff (TOV ). Il doit être complété par la donnée
d’une équation d’état reliant p et ρ ( 6 ) :
p = p(ρ). (4.200)
Il détermine alors complètement la structure d’une étoile relativiste statique et à symétrie
sphérique. Un exemple de solution exacte du système TOV est donné au § B.7 de l’Annexe
B : il s’agit de la solution de Schwarzschild interne pour une étoile incompressible.
À la limite newtonienne (Gm(r)/(c 2 r) ≪ 1) et pour un fluide non relativiste (p/c 2 ≪
ρ), le système TOV se réduit aux équations de l’hydrostatique bien connues :
dm
dr = 4πr2 ρ(r) (4.201)
dΦ
dr
dp
dr
4.6.4 Pour aller plus loin...
= Gm(r)
r 2
(4.202)
= −ρ(r)dΦ . (4.203)
dr
Nous renvoyons au livre de Haensel, Potekhin & Yakovlev [54] pour une discussion
approfondie des solutions du système TOV et de leur stabilité, et à [53] pour une introduction
aux modèles stellaires axisymétriques en rotation.
4.7 Exercices
À ce stade du cours, on peut traiter les problèmes suivants de l’Annexe B :
• le problème B.2 (Équation de Killing) ;
• les questions 7 et 8 du problème B.3 (Trou de ver), les questions 1 à 6 relevant du
chapitre précédent ;
• le problème B.6 (Quadriaccélération et dérivée de Fermi-Walker) ;
• le problème B.7 (Modèle d’étoile incompressible) ;
• le problème B.8 (Vitesse du son relativiste) ;
• le problème B.9 (Photon émis par une étoile) ;
• le problème B.10 (Pression de radiation et effet Poynting-Robertson) ;
• les questions 1 à 4 du problème B.13 (Tenseur de Killing et constante de Carter).
6 Nous ne considérons ici que de la matière froide, pour laquelle la pression est uniquement fonction
de la densité. C’est une excellente approximation pour les naines blanches et les étoiles à neutrons [cf.
cours TH9 (Frédéric Daigne)]. Si on doit prendre en compte la température, l’équation d’état devient
p = p(ρ, T ) et il faut ajouter une loi qui gouverne T (r) pour fermer le système.