Relativité Générale - LUTh - Observatoire de Paris

264 Solutions des problèmes
a cτ
H
3
2
1
L
0
-1 0 1 2
a ξ
Fig. C.5 – Géodésiques lumière dans un diagramme d’espace-temps en coordonnées de Rindler (cτ, ξ).
font sentir qu’à une distance finie de L . On remarque également qu’aucune géodésique
ne provient de l’horizon H.
3.8 Les symboles de Christoffel sont obtenus par la formule (2.130) :
Γ ′γ
αβ := 1
2 g′γσ
′ ∂g σβ
∂x ′α + ∂g′ ασ
∂x ′β − ∂g′ αβ
∂x ′σ
Étant données les composantes (B.52), on obtient
Γ ′0
αβ =
1
−
2(1 + aξ) 2
′ ∂g 0β
∂x ′α + ∂g′ α0
∂x ′β
Γ
′1
αβ = − 1
′ ∂g 1β
2 ∂x ′α + ∂g′ α1
∂x ′β − ∂g′
αβ
∂ξ
Γ ′a
αβ = 0, a = 2, 3.
Finalement, les seuls symboles de Christoffel non nuls sont
Γ ′0
01 = Γ ′0
10 = a
1 + aξ
.
et Γ ′1
00 = a(1 + aξ).
3.9 Les composantes du tenseur de Riemann se calculent en injectant les symboles de
Christoffel dans la formule (4.98). On obtient, pour toutes les composantes :
R ′α
βµν = 0.