Relativité Générale - LUTh - Observatoire de Paris

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6 TABLE DES MATIÈRES 6.3.3 Jauge de Lorenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 6.3.4 Jauge TT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 6.4 Effets d’une onde gravitationnelle sur la matière . . . . . . . . . . . . . . . 154 6.4.1 Équation du mouvement en coordonnées TT . . . . . . . . . . . . . 154 6.4.2 Variation des distances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 6.5 Génération d’ondes gravitationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 6.5.1 Formule du quadrupôle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 6.5.2 Flux d’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 6.5.3 Luminosité gravitationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 6.5.4 Amplitude de l’onde gravitationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 6.6 Sources astrophysiques et détecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 7 Solutions cosmologiques 167 7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 7.2 Espaces maximalement symétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 7.2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 7.2.2 Espaces maximalement symétriques de dimension 3 . . . . . . . . . 169 7.2.3 Espaces-temps maximalement symétriques . . . . . . . . . . . . . . 173 7.3 Espace-temps de de Sitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 7.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 7.3.2 Plongement isométrique dans Minkowksi 5-D . . . . . . . . . . . . . 174 7.3.3 Géodésiques lumière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 7.3.4 Horizon des particules et horizon des événements . . . . . . . . . . 178 7.3.5 Coordonnées de Lemaître . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 7.3.6 Coordonnées statiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 7.4 Espace-temps anti-de Sitter (AdS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 7.4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 7.4.2 Immersion isométrique dans R 2,3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 7.4.3 Géodésiques lumière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 7.4.4 Propriétés causales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 7.5 Solutions de Friedmann-Lemaître . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 7.5.1 Espaces-temps spatialement homogènes et isotropes . . . . . . . . . 193 7.5.2 Équations de Friedmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 7.5.3 Solutions de Friedmann-Lemaître . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 A Relativité et GPS 203 A.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 A.2 Principe du système GPS et nécessité d’une description relativiste . . . . . 203 A.3 Traitement relativiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 A.3.1 Système de référence céleste géocentrique (GCRS) . . . . . . . . . . 205 A.3.2 Temps terrestre et temps atomique international . . . . . . . . . . . 207 A.3.3 Le GPS comme système de détermination des coordonnées GCRS . 208 A.3.4 Mise en œuvre effective du système GPS . . . . . . . . . . . . . . . 211
TABLE DES MATIÈRES 7 B Problèmes 213 B.1 Décalage spectral au voisinage de la Terre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 B.2 Équation de Killing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 B.3 Trou de ver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 B.4 Observateur accéléré et horizon de Rindler . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 B.4.1 Mouvement uniformément accéléré . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 B.4.2 Décalage spectral et effet Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 B.4.3 Coordonnées de Rindler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 B.5 Expérience de Hafele & Keating . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 B.6 Quadriaccélération et dérivée de Fermi-Walker . . . . . . . . . . . . . . . . 224 B.7 Modèle d’étoile incompressible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 B.8 Vitesse du son relativiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 B.9 Photon émis par une étoile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 B.10 Pression de radiation et effet Poynting-Robertson . . . . . . . . . . . . . . 230 B.11 Coordonnées de Painlevé-Gullstrand sur l’espace-temps de Schwarzschild . 233 B.12 Taille apparente des étoiles compactes et des trous noirs . . . . . . . . . . 235 B.13 Tenseur de Killing et constante de Carter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 B.14 Gravité de surface d’un trou noir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 C Solutions des problèmes 245 C.1 Décalage spectral au voisinage de la Terre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 C.2 Équation de Killing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 C.3 Trou de ver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 C.4 Observateur accéléré et horizon de Rindler . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 C.4.1 Mouvement uniformément accéléré . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 C.4.2 Décalage spectral et effet Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 C.4.3 Coordonnées de Rindler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 C.5 Expérience de Hafele & Keating . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 C.6 Quadriaccélération et dérivée de Fermi-Walker . . . . . . . . . . . . . . . . 268 C.7 Modèle d’étoile incompressible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 C.8 Vitesse du son relativiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 C.9 Photon émis par une étoile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 C.10 Pression de radiation et effet Poynting-Robertson . . . . . . . . . . . . . . 282 C.11 Coordonnées de Painlevé-Gullstrand sur l’espace-temps de Schwarzschild . 287 C.12 Taille apparente des étoiles compactes et des trous noirs . . . . . . . . . . 293 C.13 Tenseur de Killing et constante de Carter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 C.14 Gravité de surface d’un trou noir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 D Codes Sage 311 D.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 D.2 Tenseur de Riemann et équation d’Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 D.2.1 Définir les paramètres du calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 D.2.2 Calcul du tenseur de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 D.2.3 Équation d’Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
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