Relativité Générale - LUTh - Observatoire de Paris

238 Problèmes
1. K est symétrique ;
2. ∇K obéit à
∇αKβγ + ∇βKγα + ∇γKαβ = 0. (B.144)
Pouvez-vous donner un exemple simple de tenseur de Killing ?
3 Si Y est un tenseur de Killing-Yano, montrer que le champ tensoriel K défini par
est un tenseur de Killing.
Kαβ := YαµY µ
β = gµν YαµYνβ
(B.145)
4 Soit L une courbe géodésique de (E , g) et p un champ de vecteurs tangents à L
associé à un paramètre affine ; p obéit à
K étant un tenseur de Killing, on considère le scalaire
∇p p = 0. (B.146)
K := K(p, p). (B.147)
Calculer ∇p K . En déduire que K est constant le long de L .
5 On se place dans l’espace-temps de Kerr, décrit par les coordonnées de Boyer-
Lindquist (xα ) = (ct, r, θ, ϕ). Les composantes du tenseur métrique sont alors
⎛
⎜
−1 +
⎜
gαβ = ⎜
⎝
2mr
ρ2 0 0 − 2amr sin2 θ
ρ2 0
ρ2 0
∆
0
0
ρ
0
2 −
0
2amr sin2 θ
ρ2 0 0
r 2 + a 2 + 2a2mr sin2 θ
ρ2
sin 2 ⎞
⎟
⎠
θ
(B.148)
g αβ ⎛
⎜ −
⎜
= ⎜
⎝
(r2 + a2 ) 2
ρ2∆ + a2 sin2 θ
ρ2 0 0 − 2amr
ρ2 0
∆
ρ
∆
2 0 0
0
1
ρ
0
2
−
0
2amr
ρ2∆ 0 0
1
ρ2 sin2 a2
−
θ ρ2∆ ⎞
⎟ ,
⎟
⎠
(B.149)
où m := GM/c 2 (M étant la masse du trou noir), ρ 2 = r 2 +a 2 cos 2 θ et ∆ := r 2 −2mr+a 2 .
Considérons les vecteurs l et k définis respectivement par
l := r 2 + a 2
∆ ∂0 + ∂r + a
∆ ∂ϕ
k := r 2 + a 2
2ρ 2
(B.150)
∂0 − ∆
2ρ 2 ∂r + a
2ρ 2 ∂ϕ. (B.151)