Relativité Générale - LUTh - Observatoire de Paris

C.12 Taille apparente des étoiles compactes et des trous noirs 293
cT/RS 5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 r/R S
Fig. C.9 – Diagramme de l’espace-temps de Schwarzschild basé sur les coordonnées de Painlevé-
Gullstrand (cT, r), les dimensions suivant θ et ϕ ayant été supprimées. Le trait vertical noir en r/RS = 1
correspond à l’horizon des événements. Les courbes de couleur verte sont les géodésiques lumière radiales.
Celles de la première famille (sortantes pour r > RS, entrantes pour r < RS) sont dessinées en traits
pleins et celles de la seconde famille (toujours entrantes) en tirets.
C.12 Taille apparente des étoiles compactes et des trous
noirs
1 D’après le théorème de Birkhoff (cf. le § 3.2.4 du cours), la métrique à l’extérieur de
tout corps à symétrie sphérique est la métrique de Schwarzschild et l’Éq. (B.139) n’est
autre que l’expression de cette métrique en coordonnées de Schwarzschild (ct, r, θ, ϕ). RS
est le rayon de Schwarzschild défini par RS := 2GM/c 2 .
2 Les étapes conduisant à l’Éq. (B.141) sont les suivantes :
1. ξ(0) et ξ(z) étant deux vecteurs de Killing de l’espace-temps de Schwarzschild, les
quantités ε et ℓ sont conservées le long de toute géodésique, donc en particulier le
long de la ligne d’univers du photon (cf. le § 3.4.1 du cours).
2. On a ε = −c p0 et ℓ = pϕ, d’où p 0 = (1 − RS/r)ε/c et p ϕ = ℓ/(r sin θ) 2 .
3. L’espace-temps de Schwarzschild étant à symétrie sphérique, la trajectoire du photon
est nécessairement plane ; il n’y a donc pas de perte de généralité à supposer que la
trajectoire s’effectue dans le plan θ = π/2. On a alors p θ = 0.
4. À ce stade, on connaît 3 des 4 composantes p α de la 4-impulsion : p 0 , p θ et p ϕ . La
quatrième composante, p r , est obtenue à l’aide de la relation gµνp µ p ν = 0 exprimant
que p est du genre lumière. En y remplaçant p 0 , p θ et p ϕ par les valeurs ci-dessus