Relativité Générale - LUTh - Observatoire de Paris

B.5 Expérience de Hafele & Keating 223
Exprimer les composantes u α de la 4-vitesse u de l’observateur O dans la base naturelle
(c −1 ∂t, ∂r, ∂θ, ∂ϕ) associée aux coordonnées de Schwarzschild, en fonction de ˙r, ˙ θ, ˙ϕ et
u 0 := dt/dτ, où τ est le temps propre de l’observateur. Calculer u 0 .
4 Montrer que si l’observateur n’est pas animé d’une vitesse relativiste (par rapport
aux coordonnées de Schwarzschild), une très bonne approximation de u 0 est
u 0 1 + GM
c 2 r
1
+
2c2
˙r 2 + r 2
θ˙ 2 2 2 2
+ r sin θ ˙ϕ . (B.56)
5 En déduire, sous la forme d’une intégrale par rapport à t, le temps propre ∆τ écoulé
pour l’observateur O entre deux événements de coordonnées temporelles t = t1 et t = t2.
6 Évaluer ∆τ en fonction de ∆t := t2 − t1 lorsque l’observateur O est celui qui reste au
sol. On notera alors ∆τsol := ∆τ. L’événement de coordonnée temporelle t1 est le départ
de l’avion et celui de coordonnée temporelle t2 son retour, après un tour du monde. On
désignera dans ce cas par R la valeur de r et par Ω la valeur de ˙ϕ. Numériquement
R = 6.4 × 10 6 m (rayon de la Terre) et Ω = 2π/T avec T = 23 h 56 min (période de
rotation de la Terre par rapport à un observateur asymptotiquement inertiel). Exprimer
le résultat en fonction de ∆t, R, Ω et θ, colatitude de l’aéroport où se trouve O.
7 Afin d’évaluer ∆τ =: ∆τavion pour l’observateur qui effectue le tour du monde en avion,
nous supposerons que (i) l’avion reste à la latitude de son point de départ (colatitude θ),
(ii) il vole à une altitude h constante, et (iii) sa vitesse par rapport au sol est V = V eϕ
(eϕ := (r sin θ) −1 ∂ϕ) avec V constant. De plus, nous négligerons les phases de décollage
et d’atterrissage, ainsi que les escales. Étant données les faibles vitesses mises en jeu, nous
supposerons également que la loi newtonienne d’addition des vitesses s’applique, de sorte
que
r sin θ ˙ϕavion = V + r sin θ ˙ϕsol = V + rΩ sin θ, (B.57)
avec V > 0 (resp. V < 0) si l’avion va vers l’est (resp. l’ouest). Exprimer alors ∆τavion en
fonction de R, h, V , θ, Ω et ∆t.
8 Montrer que l’écart relatif des temps propres des deux observateurs est
∆τavion − ∆τsol
∆τsol
= GM
c 2
h 1
−
R(R + h) 2c2 2 2 2
V + 2V (R + h)Ω sin θ + h(2R + h)Ω sin θ .
(B.58)
Que vaut le rapport h/R par rapport à 1 ? En déduire une simplification de la formule
ci-dessus. Une simplification supplémentaire peut être obtenue en comparant V RΩ/c 2 et
(RΩ) 2 /c 2 à GM/(c 2 R). Écrire alors la formule finale. Commenter.
9 Application numérique : les deux vols autour du monde, l’un vers l’est, l’autre vers
l’ouest, ont été effectués en octobre 1971 sur des Boeing 707 et 747 de compagnies américaines,
à une latitude moyenne de 30 ◦ , une altitude moyenne h = 9 km et une vitesse
moyenne par rapport au sol |V | = 830 km h −1 . Calculer l’écart relatif entre ∆τavion et
∆τsol pour le vol vers l’est et pour celui vers l’ouest.