Relativité Générale - LUTh - Observatoire de Paris

5.4 Effondrement gravitationnel
5.4 Effondrement gravitationnel 131
Les trous noirs stellaires se forment lors de l’effondrement du cœur de fer d’une étoile
massive en fin d’évolution, événement qui donne lieu au phénomène de supernova. L’effondrement
gravitationnel est représenté schématiquement sur la Fig. 5.3. Nous renvoyons
au cours de Frédéric Daigne (unité d’enseignement Th9) pour plus de détails.
5.5 Trous noirs en rotation
5.5.1 Solution de Kerr
Comme tous les corps dans l’Univers, les trous noirs réels doivent être en rotation. La
solution de Schwarzschild, qui est statique, ne fournit alors qu’une description approchée.
Les trous noirs étant accélérés par l’accrétion de matière, on s’attend à ce que la plupart
d’entre eux soient en rotation rapide. La description par la métrique de Schwarzschild
n’est alors pas satisfaisante. Il se trouve qu’une solution exacte de l’équation d’Einstein
correspondant à un trou noir en rotation a été découverte en 1963 par le mathématicien
néo-zélandais Roy Kerr. De plus, cette solution, comme nous le verrons au § 5.5.2, recouvre
tous les trous noirs stationnaires en rotation !
Dans un système de coordonnées x α = (ct, r, θ, ϕ), appelées coordonnées de Boyer-Lindquist,
la métrique de Kerr a pour composantes :
gαβ dxα dxβ
= − 1 − 2GMr
c2ρ2
c 2 dt 2 − 4GMar sin2 θ
c2ρ2 c dt dϕ + ρ2
∆ dr2
+ρ 2 dθ 2
+ r 2 + a 2 + 2GMa2r sin2 θ
c2ρ2
sin 2 θ dϕ 2
, (5.24)
où
ρ 2 := r 2 + a 2 cos 2 θ, ∆ := r 2 − 2GM
c2 r + a 2
(5.25)
et a et M sont deux constantes, respectivement de la dimension d’une longueur et d’une
masse. M est en fait la masse du trou noir et a est relié au moment cinétique du trou noir
J par
a = J
.
cM
(5.26)
La constante sans dimension
ā := c2
G
a
M
= c
G
J
M 2
(5.27)
est appelée paramètre de Kerr de la solution.
Exercice : vérifier à l’aide d’un logiciel de calcul formel (par exemple le logiciel libre
Sage 4 , cf. Annexe D) que la métrique donnée par (5.24) est bien une solution de l’équation
d’Einstein du vide.
4 http://www.sagemath.org/