Relativité Générale - LUTh - Observatoire de Paris

7.2 Espaces maximalement symétriques 173
Exercice : le démontrer à partir de (7.12) et de la formule de changement de coordonnées
(2.57).
En dimension 2, la boule de Poincaré est naturellement appelée disque de Poincaré 3
Ce dernier a inspiré l’artiste M. C. Escher, ainsi que montré sur la Fig. 7.2. On peut
imaginer cette figure comme une coupe à ˆz = 0 de H3 . Les géodésiques sont des cercles
orthogonaux au cercle périphérique ˆr = 1 ; elles sont représentées en blanc sur la Fig. 7.2.
Il est à noter que tous les poissons ont la même taille pour la métrique g : s’ils apparaissent
de plus en plus petits à mesure que l’on s’approche du bord du disque, c’est en raison de
la divergence gîˆj → +∞ lorsque ˆr → 1, ainsi qu’il est clair sur l’expression (7.15).
7.2.3 Espaces-temps maximalement symétriques
Plaçons-nous dans le cas n = 4 et formons l’équation d’Einstein pour un espace-temps
maximalement symétrique. Le tenseur de Ricci s’obtient en combinant les Eqs. (4.108) et
(7.3) :
Rαβ = R σ ασβ = κ( δ σ σ gαβ − δ
4
σ β gασ) = 3κ gαβ, (7.16)
de sorte que le tenseur d’Einstein vaut [cf. Eq. (4.114)]
Gαβ = Rαβ − 1
2 R gαβ = 3κ gαβ − 1
2 12κ gαβ = −3κ gαβ. (7.17)
L’équation d’Einstein (7.1) s’écrit donc
(Λ − 3κ) g = 8πG
T . (7.18)
c4 On en déduit qu’un espace-temps maximalement symétrique vide (T = 0) a forcément
une constante cosmologique égale à 3κ :
κ = Λ
3
(vide). (7.19)
Si l’espace-temps n’est pas vide et que l’on suppose que le tenseur énergie-impulsion
est celui d’un fluide parfait, c’est-à-dire a la forme (4.124), alors (7.18) implique
soit
ρc 2 4 Λ − 3κ
+ p = 0 et p = c , (7.20)
8πG
2 3κ − Λ
ρ = c
8πG
Une telle équation d’état est celle de l’énergie dite « du vide ».
et p = −ρ c 2 . (7.21)
3 Le disque de Poincaré a en réalité été découvert par Eugenio Beltrami en 1868, soit 14 ans avant les
travaux de Poincaré.