Relativité Générale - LUTh - Observatoire de Paris

302 Solutions des problèmes
C.14 Gravité de surface d’un trou noir
1 Un trou noir stationnaire en rotation est décrit par la métrique de Kerr, et ce en
vertu du théorème d’unicité (cf. § 5.5.2 du cours).
2 Les paramètres m et a ont tous deux la dimension d’une longueur. Lorsque a = 0,
ρ2 = r2 et les composantes du tenseur métrique se réduisent à
⎛
⎜
−1 +
⎜
gαβ = ⎜
⎝
2m
r
2m
r
2m
r
1 +
0 0
2m
0
r
0
0
r
0
2 0
0 0 0 r 2 sin 2 ⎞
⎟ .
⎟
⎠
θ
On reconnaît les coordonnées d’Eddington-Finkelstein 3+1 (cf. Eq. (5.12) du cours).
En r = rH, tous les coefficients métriques sont réguliers. En particulier
grr = 1 +
2mrH
r 2 H + a2 cos 2 θ
ne diverge pas, contrairement au coefficient métrique grr des coordonnées de Boyer-
Lindquist.
3 Le vecteur de Killing ξ(0) correspond à l’invariance par translation dans le temps
(stationnarité) et le vecteur de Killing ξ(z) correspond à l’invariance par rotation autour
d’un axe (axisymétrie).
Soit f un champ scalaire sur l’espace-temps (E , g). L’action du vecteur ∂t ′ sur f est,
par définition même d’une base naturelle (cf. Eq. (2.14) du cours),
∂f ∂f
∂t ′(f) = =
∂t ′ ∂xα ∂xα .
∂t ′
Or d’après (B.157), le passage des coordonnées de Boyer-Lindquist (x ′α
) à celles de Kerr
3+1 (xα ) est de la forme ⎧⎪ ⎨
si bien que ∂x α /∂t ′ = δ α 0 et
⎪⎩
t = t ′ + F (r)
r = r
θ = θ
ϕ = ϕ ′ + G(r),
∂f
∂t ′(f) =
∂t = ∂t(f).
Le champ scalaire f étant quelconque, on en conclut que les vecteurs ∂t ′ et ∂t sont égaux.
De même,
∂f ∂f
∂ϕ ′(f) = =
∂ϕ ′ ∂xα ∂xα ∂f
=
∂ϕ ′ ∂ϕ × 1 = ∂ϕ(f),