Relativité Générale - LUTh - Observatoire de Paris

108 Équation d’Einstein
Fig. 4.2 – Transport parallèle d’un vecteur v0 depuis un point A jusqu’à un point B en suivant deux
chemins infinitésimaux : A → I → B et A → I ′ → B. Dans le premier cas, le transport parallèle génère
un champ vectoriel noté v, dans le second, un champ vectoriel noté v ′ . Le fait que v ′ (B) = v(B) traduit
la courbure de la connexion ∇ qui a assuré le transport parallèle.
En reportant (4.88) et (4.90) dans (4.89), il vient
v α (B) = v α 0 − Γ α βµ v β
0 dx µ
1 − Γ α βν + ∂Γαβν ∂x µ
dxµ 1 v β
0 − Γ β σµ v σ 0 dx µ
1 dx ν 2, (4.91)
où l’on a effectué v α (A) = v α 0 et où toutes les valeurs de Γ α µν et de ses dérivées sont prises
au point A. En développant, il vient
v α (B) = v α 0 − Γ α βµ v β
0 dx µ
1 − Γ α βνv β
0 dx ν 2 + Γ α βνΓ β σµ v σ 0 dx µ
1dx ν 2 − ∂Γαβν ∂x
vβ
µ 0 dx µ
1dx ν 2. (4.92)
Considérons à présent le trajet de A à B en passant par le point I ′ de coordonnées
(cf. Fig. 4.2)
x α (I ′ ) = x α 0 + dx α 2 . (4.93)
Soit alors v ′ le champ vectoriel obtenu par transport parallèle de v0 de A à I ′ , puis de I ′
à B. La seule différence avec le calcul précédent est que l’on intervertit dx µ
1 et dx ν 2. Par
conséquent
v ′α α
(B) = v0 − Γ α βµ v β
0 dx µ
2 − Γ α βνv β
0 dx ν 1 + Γ α βνΓ β σµ v σ 0 dx µ
2dx ν 1 − ∂Γαβν ∂x
ou encore en permutant les indices muets µ et ν :
v ′α α
(B) = v0 − Γ α βν v β
0 dx ν 2 − Γ α βµv β
0 dx µ
1 + Γ α βµΓ β σν v σ 0 dx µ
1dx ν 2 − ∂Γαβµ ∂x
En soustrayant (4.92) de (4.95), il vient
v ′α (B) − v α (B) =
α ∂Γ βν
vβ
∂x µ
0 − ∂Γαβµ ∂x
ν vβ
0 + Γ α βµΓ β σν v σ 0 − Γ α βνΓ β σµ v σ 0
vβ
µ 0 dx µ
vβ
ν 0 dx µ
2dx ν 1, (4.94)
1dx ν 2. (4.95)
dx µ
1dx ν 2, (4.96)