Relativité Générale - LUTh - Observatoire de Paris

242 Problèmes
dont les composantes sont h α = ℓ µ ∇µℓ α . En utilisant l’équation de Killing (B.164), montrer
que, pour tout vecteur v,
1
h · v = −
2 ∇v
ℓ · ℓ
(B.173)
(écrire h · v = hµv µ , avec hµ = ℓ ν ∇νℓµ).
En déduire que si v est tangent à H, alors h · v = 0. En conclure qu’il existe un champ
scalaire κ défini sur H tel que
∇ ℓ ℓ = κ ℓ sur H. (B.174)
κ est appelé gravité de surface du trou noir.
9 On considère une ligne de champ L de ℓ sur H. Soit λ le paramètre de L associé à
ℓ, c’est-à-dire le paramètre tel que l’équation de L s’écrive xα = Xα (λ) avec Xα quatre
fonctions de λ telles que
ℓ α = dXα
. (B.175)
dλ
Dire pourquoi λ coïncide (à une constante additive près) avec la valeur de la coordonnée
de Kerr 3+1 x 0 = ct le long de L . Montrer que le long de L ,
µ ∂ℓα
ℓ
∂x µ = d2X α
dλ
2 . (B.176)
Déduire alors de (B.174) un système de quatre équations différentielles du second degré
pour les fonctions X α . Que reconnaît-on ? Comment qualifie-t-on λ lorsque κ = 0 ?
10 À partir de (B.174), montrer que, sur H,
κ ℓ = − 1
2 ∇
ℓ · ℓ
, (B.177)
où ℓ est la forme linéaire de composantes ℓα = gαµℓ µ . En utilisant une propriété de ℓ
établie plus haut, montrer que, sur H,
ℓα = (0, ℓr, 0, 0). (B.178)
11 Nous allons utiliser (B.177) pour calculer κ. Au vu de (B.178), on s’intéresse à la
composante r de (B.177). Montrer qu’elle s’écrit
En reliant ℓr aux composantes ℓ α de ℓ, montrer que
κ ℓr| H = − 1
∂
ℓ · ℓ
2 ∂r
H . (B.179)
ℓr| H = r2 H + a2 cos 2 θ
r 2 H + a2 . (B.180)