Relativité Générale - LUTh - Observatoire de Paris

7.3 Espace-temps de de Sitter 181
effectuons le changement de coordonnées (τ, χ, θ, ϕ) ↦→ (t, r, θ, ϕ) suivant
⎧
⎪⎨
⎪⎩
t := b −1 ln [cosh(bτ) cos χ + sinh(bτ)]
r :=
cosh(bτ) sin χ
b [cosh(bτ) cos χ + sinh(bτ)] ,
(7.43)
θ et ϕ restant identiques. Les coordonnées (t, r, θ, ϕ) sont appelées coordonnées de Lemaître.
Il est clair que t et r prennent leurs valeurs dans les intervalles suivants
t ∈ R, r ∈ [0, +∞[ . (7.44)
En raison du logarithme dans l’expression de t, le changement de coordonnées n’est bien
défini que pour
cosh(bτ) cos χ + sinh(bτ) > 0.
Au vu de (7.27), cette condition est équivalente à
T + W > 0. (7.45)
Autrement dit, les coordonnées de Lemaître ne couvrent qu’une moitié de l’espace-temps
de de Sitter : celle située au dessus de l’hyperplan T + W = 0 (cf. Fig. 7.5).
Remarque : Tout comme τ, la coordonnée t définie ci-dessus a la dimension d’une longueur.
Pour lui donner la dimension d’un temps, il faudrait remplacer t par ct dans
toutes les formules qui suivent.
Le système (7.43) s’inverse comme suit. On tire immédiatement de (7.43) les relations
En élevant (7.47) au carré, il vient
cosh(bτ) cos χ + sinh(bτ) = e bt
(7.46)
cosh(bτ) sin χ = br e bt . (7.47)
b 2 r 2 e 2bt = cosh 2 (bτ) sin 2 χ = cosh 2 (bτ) − cosh 2 (bτ) cos 2 χ.
En utilisant (7.46) pour exprimer cosh 2 (bτ) cos 2 χ, on obtient
b 2 r 2 e 2bt = cosh 2 (bτ) − [e bt − sinh(bτ)] 2 = cosh 2 (bτ) − sinh 2 (bτ) −e
1
2bt + 2e bt sinh(bτ),
d’où (en écrivant 1 − e 2bt = −2e bt sinh(bt)),
sinh(bτ) = sinh(bt) + 1
2 b2 r 2 e bt . (7.48)
En formant le quotient de (7.47) par (7.46) (sous la forme cosh(bτ) cos χ = ebt −sinh(bτ)),
il vient
bre
tan χ =
bt
ebt − sinh(bτ) =
2br
1 + e−2bt − b2 ,
r2 (7.49)