Relativité Générale - LUTh - Observatoire de Paris

V eff / c 2
0.15
0.1
0.05
0
-0.05
-0.1
3.5 Orbites des corps matériels 75
l / M = 5.0 newtonien
l / M = 5.0
l / M = 4.6
l / M = 4.2
l / M = 3.8
l / M = 3.4641
l / M = 3.0
l / M = 2.6
2 4 6 8 10 12 14
r / R S
Fig. 3.6 – Potentiel effectif défini par l’Eq. (3.94) et donnant la partie radiale du mouvement géodésique
d’une particule matérielle dans l’espace-temps de Schwarzschild. Les différentes courbes correspondent
à différentes valeurs du « moment cinétique » par unité de masse ℓ de la particule, exprimé en unités
de GM/c. La courbe en traits pointillés fins est celle du cas newtonien pour ℓ = 5GM/c. La courbe
en traits pointillés longs est la courbe du cas critique ℓ = 2 √ 3GM/c 3.4641GM/c. Les cercles pleins
marquent les positions d’équilibre stable pour les orbites circulaires. Le cercle entouré correspond à la
dernière orbite circulaire stable (ISCO) en r = 3RS.
Ce trinôme en r/RS admet des racines si, et seulement si, ¯ ℓ 4 − 3 ¯ ℓ 2 ≥ 0, c’est-à-dire si, et
seulement si, ¯ ℓ 2 ≥ 3, soit
| ¯ ℓ| ≥ ¯ ℓcrit := √ 3. (3.103)
La valeur critique de ℓ correspondante est [cf. (3.99)]
ℓcrit = 2 √ 3 GM
c
. (3.104)
Pour |ℓ| > ℓcrit, Veff admet deux extrema, situés en
rmax
= ¯ ℓ 2
1 − 1 − 3
¯ℓ 2
et
rmin
= ¯ ℓ 2
1 + 1 − 3
¯ℓ 2
. (3.105)
RS
rmax (resp. rmin) correspond à un maximum (resp. minimum) de Veff(r) (cf. Fig. 3.6) 5 .
Pour |ℓ| = ℓcrit, ces deux extrema convergent en un point d’inflexion et pour |ℓ| < ℓcrit, il
n’y a aucun extremum : Veff(r) est une fonction strictement croissante.
de r.
5 NB : rmax < rmin, les indices ‘max’ et ‘min’ se rapportant aux extrema de Veff(r), et non à la valeur
RS