Relativité Générale - LUTh - Observatoire de Paris

98 Équation d’Einstein
Remarque : Il convient de faire attention à l’ordre des indices dans la formule ci-dessus.
Pour un tenseur de type 1
α quelconque, T , les composantes T 1
β dans la base eα⊗e β
sont définies par
T = T α β eα ⊗ e β . (4.25)
On a donc, pour T = ∇v, (∇v) α β = ∇βv α . L’ordre des indices α et β dans l’écriture
∇βv α est donc inversé par rapport à l’ordre naturel d’écriture des composantes. De
ce point de vue, la notation « point-virgule »
v α ;β := ∇βv α
utilisée par de nombreux auteurs est plus adaptée.
(4.26)
Les composantes du vecteur ∇u v dans la base (eα) se déduisent facilement de celle
du tenseur ∇v, puisque l’on a
(∇u v) α = 〈e α , ∇u v〉 = ∇v(e α , u) = u β ∇v(e α , eβ) = u β ∇βv α . (4.27)
La première égalité découle de la définition de (e α ) comme base duale de (eα) [cf. (4.7)],
la deuxième de la définition (4.22) de ∇v, la troisième de la linéarité du tenseur ∇v par
rapport à son deuxième argument et la quatrième de la définition (4.24) des composantes
de ∇v. On a donc
∇u v = u β ∇βv α eα . (4.28)
Considérons un champ de bases vectorielles (eα) sur E , c’est-à-dire la donnée d’une
base vectorielle (eα(P )) de l’espace tangent TP (E ) en chaque point P ∈ E . Le champ (eα)
est également appelé tétrade ou repère mobile. Par définition de la connexion, pour toute
paire (α, β), ∇eβ eα est un champ vectoriel sur E [cf. (4.15)]. On peut donc le décomposer
sur la base (eµ) :
∇eβ eα =: γ µ
αβ eµ . (4.29)
Les coefficients γ µ
αβ constituent un ensemble de 43 = 64 champs scalaires sur E . Ils
sont appelés coefficients de la connexion ∇ par rapport à la base (eα). Montrons qu’ils
déterminent complètement ∇ : on a
∇uv = ∇u(v α eα)
= 〈∇v α , u〉eα + v α ∇u eα
= u β 〈∇v α , eβ〉eα + v α u β ∇eβ eα
= u β 〈∇v α , eβ〉eα + v α u β γ µ
αβ eµ
= u β eβ(v α ) + γ α µβ v µ eα, (4.30)
où pour obtenir la seconde ligne, on a utilisé la propriété 4 de la connexion (considérant
chaque composante v α comme un champ scalaire sur E ), pour la troisième ligne, on a
utilisé la propriété 3, pour la quatrième ligne la décomposition (4.29), et pour la dernière
ligne l’Eq. (4.4) pour écrire 〈∇v α , eβ〉 = eβ(v α ), ce dernier terme représentant l’action du