Relativité Générale - LUTh - Observatoire de Paris

C.14 Gravité de surface d’un trou noir 307
Or l’équation de Killing pour ℓ donne ∇µℓα = −∇αℓµ, d’où
κ ℓα = −ℓ µ ∇αℓµ = − 1
2 ∇α (ℓ µ ℓµ) .
On a donc établi l’Eq. (B.177) de l’énoncé.
Soit v un vecteur quelconque tangent à H. Comme ( ∂0, ∂θ, ∂ϕ) engendrent les hyperplans
tangents à H, on a nécessairement v = v 0 ∂0 + v θ ∂θ + v ϕ ∂ϕ. Autrement dit, les
composantes de v sont de la forme
v α = (v 0 , 0, v θ , v ϕ ).
Puisque ℓ est normal à H, on a ℓ · v = ℓµv µ = 0, soit d’après les composantes ci-dessus,
ℓ0v 0 + ℓθv θ + ℓϕv ϕ = 0.
Cette identité devant être vérifiée pour tout vecteur v tangent à H, c’est-à-dire pour
tous les triplets (v 0 , v θ , v ϕ ), on en déduit que nécessairement (ℓ0, ℓθ, ℓϕ) = (0, 0, 0), d’où la
propriété (B.178).
11 ℓ · ℓ étant un champ scalaire, les composantes de sa dérivée covariante se réduisent
à des dérivées partielles, si bien que les composantes de l’Eq. (B.177) s’écrivent
Pour α = 1, on obtient l’Eq. (B.179).
On a
ℓr = grµℓ µ = gr0 + grϕ
= 2mr
ρ 2
κ ℓα = − 1 ∂
2 ∂xα Ω
c
1 − a sin 2 θ Ω
c
ℓ · ℓ
.
2mr
= − a 1 +
ρ2 2mr
ρ2
sin 2 θ Ω
c
− a sin 2 θ Ω
c .
En faisant r = rH et en remplaçant Ω par sa valeur obtenue à la question 6, il vient
ℓr| H = 2mrH
ρ2
1 − a sin
H
2 a
θ
r2
− a sin
H + a2
2 a
θ
r2 =
H + a2
1 2mrH
( r 2 H + a 2 − a 2 sin 2 θ ) − a 2 sin 2
θ
=
r2 H + a2
1
r2 H + a2
ρ 2 H
ρ 2 H
2mrH −a 2 sin 2
θ
r 2 H +a2
= r2 H + a2 cos 2 θ
r 2 H + a2 ,
ce qui établit l’Eq. (B.180) de l’énoncé.