Relativité Générale - LUTh - Observatoire de Paris

2.3 Tenseur métrique 25
La forme bilinéaire g définie ci-dessus est appelée tenseur métrique sur E ou parfois
métrique tout court. Le couple (E , g) est appelé espace-temps. Le tenseur métrique définit
complètement la géométrie sur l’espace-temps : lorsque l’on parlera de deux 4-vecteurs
orthogonaux, ou d’un sous-espace orthogonal à un 4-vecteur, il s’agira toujours d’orthogonalité
par rapport au produit scalaire g.
2.3.2 Composantes gαβ du tenseur métrique
Étant donnée une base (e0, e1, e2, e3) de TP (E ), la matrice de g par rapport à cette base
est la matrice (gαβ) définie par
gαβ := g(eα, eβ), 0 ≤ α ≤ 3, 0 ≤ β ≤ 3. (2.47)
(gαβ) permet d’exprimer le produit scalaire de deux 4-vecteurs u et v en fonction de leurs
composantes (u α ) et (v α ) dans la base (eα) (cf. (2.19)), suivant
u · v = gαβ u α v β . (2.48)
Puisque g est une forme bilinéaire symétrique, (gαβ) est une matrice symétrique. De
plus, puisque g est non-dégénérée, cette matrice est inversible et nous noterons (g αβ ) son
inverse :
g ασ gσβ = δ α β , (2.49)
où δα β désigne le symbole de Kronecker relatif aux indices α et β : δαβ = 1 si α = β et 0
sinon.
Considérons un changement de base de (eα) → (eα ′) de TP (E ) ( 6 ) ; ce changement de
base est entièrement défini par la donnée de la matrice de passage P α α ′ qui est la matrice
réelle 4 × 4 telle que
eα ′ = P α α ′ eα. (2.50)
Alors pour tout vecteur v ∈ TP (E ),
v = v α′
eα ′ = vα′ P α α ′ eα, (2.51)
d’où l’on déduit la relation entre les composantes de v dans les deux bases :
v α = P α α ′vα′ . (2.52)
Remarque : La loi de transformation (2.18) précédemment établie constitue un cas particulier
de la relation ci-dessus, puisque dans le cas de bases naturelles eα = ∂α et
eα ′ = ∂α ′ associées respectivement à des coordonnées (xα ) et (xα′ ),
P α ∂xα
α ′ =
∂xα′ . (2.53)
6 rappelons l’usage courant (en relativité) de mettre le prime sur l’indice plutôt que sur le symbole qui
porte cet indice : en mathématique on écrirait plutôt (e ′ α) pour désigner la nouvelle base.