Relativité Générale - LUTh - Observatoire de Paris

4.3 Tenseur de courbure 107
Fig. 4.1 – Transport parallèle d’un vecteur depuis un point A jusqu’à un point B en suivant deux
chemins différents à la surface d’une sphère : (i) A → B le long d’un méridien, (ii) A → I le long de
l’équateur, puis I → B le long d’un méridien. Le vecteur au point d’arrivée dépend du chemin suivi, en
raison de la courbure de la sphère.
Soit v0 un vecteur au point A, c’est-à-dire un élément de l’espace tangent TA(E ). On
peut étendre v0 en un champ de vecteurs propagés parallèlement à eux-même le long d’un
déplacement −→
dP en imposant
∇−→ v = 0. (4.85)
dP
En composantes, cette condition s’écrit (les composantes de −→
dP étant (dx µ ))
∇µv α dx µ = 0, (4.86)
d’où, en vertu de (4.32)
∂vα ∂x µ dxµ = −Γ α βµv β dx µ . (4.87)
On déduit immédiatement de cette formule que si on propage v parallèlement à lui-même
de A à I, on a :
v α (I) = v α (A) − Γ α βµ(A) v β (A) dx µ
1. (4.88)
De même, si on propage ensuite v parallèlement à lui-même de I à B, (4.87) conduit à
avec, au premier ordre en dx µ
1,
v α (B) = v α (I) − Γ α βν(I) v β (I) dx ν 2, (4.89)
Γ α βν(I) = Γ α βν(A) + ∂Γαβν (A) dxµ
∂x µ 1. (4.90)