Introduction à la commande stochastique v.0.9 - Jean-Pierre ...

2. PLACEMENT DE PÔLES PAR LE RÉGULATEUR LQ 101
où les polynômes n et d sont définis par
H(s) = C(sI − A) −1 B = n(s)/d(s) ,
avec H irréductible.
PREUVE. A l’optimum le système satisfait
( ) (
)( )
ẋ A −Br
=
−1 B ′ x
ṗ −C ′ C −A ′ .
p
Le changement de variable
( ) ( )( )
x I 0 ξ
=
,
p P I π
où P est solution de l’équation de Riccati
A ′ P + PA− PBr −1 B ′ P + C ′ C = 0 ,
donne le système
( ) ( )( )
˙ξ A − BK −Br
=
−1 B ′ ξ
˙π
0 −A ′ + K ′ B ′ ,
π
où K = r −1 B ′ P. Et donc les pôles du système bouclé (valeurs propres de
A − BK) sont des zéros de
( )
sI − A Br
p(s) = det
−1 B ′
C ′ C sI + A ′ = 0 .
On a
p(s) = det(sI − A) det(sI + A ′ − C ′ C(sI − A) −1 Br −1 B ′ )
= det(sI − A) det(I − C ′ C(sI − A) −1 Br −1 B ′ (sI + A ′ ) −1 ) det(sI + A ′ )
= d(s)d(−s)(−1) n det(1 − r −1 B ′ (sI + A ′ ) −1 C ′ C(sI − A) −1 B)
[
= d(s)d(−s)(−1) n 1 + n(s)n(−s) ]
,
rd(s)d(−s)
où nous avons utilisé det(I n − AB) = det(I m − B ′ A ′ ) si A et B ′ sont des
matrices n × m.
On en déduit les deux résultats suivants qui donnent les deux extrémités du
lieu des pôles lorsque r variede0à l’infini. En pratique on commencera
par r = 0 et si on obtient des commandes trop grandes on augmentera r.
COROLLAIRE 2.2. La limite des pôles du système bouclé optimal (lorsque
r tend vers l’infini) (contrôle cher) sont les pôles stables du système
en boucle ouverte et les symétrisés par rapport à l’axe imaginaire du plan
complexe des pôles instables du système en boucle ouverte.
PREUVE. Lorsque r tend vers l’infini les pôles du système bouclé optimal
vont converger vers les racines stables de d(s)d(−s) d’aprés la continuité
des racines d’un polynômes par rapport aux coefficients du polynôme.
Les racines de d(s)d(−s) étant symétriques par rapport à l’axe imaginaire