Introduction à la commande stochastique v.0.9 - Jean-Pierre ...

94 6. LE RÉGULATEUR LQG
THÉORÈME 3.3. La solution du problème LQG en observation complète
est donnée par le feedback linéaire u k = K k x k avec
K k =−(R + B ′ P k+1 B) −1 B ′ P k+1 A , (3.8)
où la matrice semi-définie positive P k est définie par
P k = A ′ P k+1 A + Q − A ′ P k+1 B(R + B ′ P k+1 B) −1 B ′ P k+1 A , (3.9)
P T = Q T .
PREUVE. D’après la condition d’optimalité (3.5), il s’agit de trouver
une solution au système d’équations
x k+1 = Ax k + Bu k + w k , x 0 = ξ,
p k = A ′ p k+1 + Qx k , p T = Q T x T ,
u k =−R −1 B ′ ˆp k k+1 .
Supposons par récurrence que ˆp l l = P l x l (où P l est une matrice semi définie
positive) pour l = k + 1 montrons le pour k. La condition est vraie pour
l = T puisque
ˆp T T = Q T x T .
Par ailleurs, w k étant indépendante de X k et de moyenne nulle
ˆp k k+1 = P k+1E(x k+1 | X k ) = P k+1 E(Ax k + Bu k + w k | X k ),
= P k+1 (Ax k + Bu k ).
D’après (3.5) on a
B ′ P k+1 (Ax k + Bu k ) + Ru k = 0 .
d’oùl’ondéduit le feedback :
u k =−(R + B ′ P k+1 B) −1 B ′ P k+1 Ax k .
Enfin, les relations
ˆp k k = A′ ˆp k k+1 + Qx k = A ′ P k+1 (Ax k + Bu k ) + Qx k ,
donnent, en remplaçant u k par (3.8), la condition ˆp k
k = P k x k ,où P k est
donnée par (3.9).
REMARQUE 3.4. Le feedback ne dépend pas de la covariance des bruits.
Il est donc le même que dans le cas déterministe (w k = 0, ∀k) (“principe
d’équivalence au certain”). Ce résultat est trés lié au cadre choisi ici. Il n’est
pas vrai en général.
EXERCICE 3.5. On peut montrer les résultats de ce paragraphe par la méthode
de la programmation dynamique. Soit
{ }
∑ T −1
V (x, k) = E (x i ′ Qx i + u ′ i Ru i) + x T ′ Q T x | x k = x
i=k
le coût optimal associé ausystème (2.1) partant de l’état x à l’instant k.