Introduction à la commande stochastique v.0.9 - Jean-Pierre ...

2. MATRICES DANS L’ALGÈBRE MAX-PLUS 33
3. (α ⊕ β)x = αx ⊕ βx;
4. α(βx) = (αβ)x;
5. ex = x;
6. εx = ε;
pour tout α, β ∈ K et tout x, y ∈ M.
On utilise cette structure dans le cas particulier suivant.
EXEMPLE 2.6. (R max ) n est un moduloide sur R max .Sonzéro, encore noté
ε, vaut(ε, ··· ,ε).
DÉFINITION 2.7 (Algèbre Idempotente ). Un moduloide muni d’une opération
interne notée ⊗ est appelé algèbre idempotente si cette opération est
associative, a une unité notée e et si elle est distributive par rapport à ⊕.
EXEMPLE 2.8. Soit (R max ) n×n l’ensemble des matrices n × n à coefficients
dans R max muni des deux opérations internes suivantes :
• l’addition terme à terme notée ⊕;
• la multiplication matricielle notée ⊗ définie par
n⊕
(A ⊗ B) ij = A ik ⊗ B kj ;
k=1
et l’opération externe
•∀α ∈ R max , ∀A ∈ (R max ) n×n ,αA = (αA ij ).
L’ensemble (R max ) n×n est une algèbre idempotente dont le zéro est la matrice
(encore notée ε) ayant tous ses termes égaux à ε, dont l’identité est
la matrice (encore notée e) ayant sur la diagonale des e et partout ailleurs
valant ε.
2.3. SYSTÈMES D’ÉQUATIONS LINÉAIRES DANS (R max ) n
Dans cette sous-section nous nous intéressons aux systèmes d’équations
linéaires. Nous utilisons les notations matricielles pour les définir. Le
système général s’écrit
Ax ⊕ b = Cx ⊕ d ,
où A et C sont des n × n-matrices et b et d sont des n-vecteurs. Ce système
peut être mis sous une forme simplifiée.
DÉFINITION 2.9 (Forme canonique d’un système). Le système
Ax ⊕ b = Cx ⊕ d
est dit être sous forme canonique si A, C, b, and d satisfont
• C ij = ε si A ij > C ij ,etA ij = ε if A ij < C ij ;
• d i = ε si b i > d i ,etb i = ε if b i < d i .
EXEMPLE 2.10. Considérons le système
( )( ) ( ) (
3 2 x1 1 4 1
⊕ =
ε 2 x 2 2 1 1
)(
x1
x 2
)
⊕
(
e
3
)
,