Introduction à la commande stochastique v.0.9 - Jean-Pierre ...

74 5. DÉCOMPOSITION
Afin de définir la matrice de transition de la chaînedeMarkovonintroduit
:
• u i : E i → R + le taux de service de la file i;
• r : I × I → [0, 1] une matrice stochastique dite de routage qui
indique la loi des chemins suivis par les clients dans le réseau — r ij
représente la probabilité pour un client servi par la file i d’aller dans
la file j si aucune file d’attente n’est pleine;
• T ij : E → E
T ij (x 1 ,... ,x I ) = (x 1 ,... ,x i − 1, x i+1 ,... ,x j + 1,... ,x I ).
La matrice de transition M u : E ×E → R + de la chaînedeMarkovestalors
définie par :
M u xx ′
{
u = i
r +ij
x i x
s’il existe i, j : x ′ = T ij (x)
0 sinon
avec r x
+ij la probabilité pour un client d’aller dans la file j sachant qu’il est
sorti de la file i compte tenu de la saturation des files d’attente. La matrice
r + se calcule à partir de r. Pour cela notons J (x + ) ⊂ I l’ensemble des files
non saturées lorsque l’état est x et que l’on a précisé de quelle file sort le
client. On a alors :
r + = r J + r J ¯ J s ¯ J r ¯ JJ ,
avec la partition :
et
r =
[
r
J
r J ¯ J
r ¯ JJ
s J ¯
=
r ¯ J
∞∑
(r J ¯
) k .
k=0
]
,
Cette formule est obtenue en considérant tous les chemins possibles, pour
atteindre une file non saturée, passant par les dérivations.
On s’intéresse alors àlamesureinvariantep de la chaînedeMarkov
(T , E, M u ).
2. FACTORISATION DE LA MESURE INVARIANTE
Nous allons montrer que la mesure invariante p de tels systèmes se calcule
et se factorise p = p 1 ...p I où chaque p i s’interprète comme une
mesure invariante d’une file unique.