Introduction à la commande stochastique v.0.9 - Jean-Pierre ...

LES ÉQUATIONS DU MOUVEMENT.
9. CLOWN ÉQUILIBRISTE 157
1. On obtient les équations du mouvement simplifié en minimisant l’action
simpliée. Notons
H 1 00 (0, T ; R2 ) ={X | X ∈ H 1 (0, T ), X (0) = 0, X (T ) = 0} .
On cherche X ∈ H 1 (0, T ; R 2 ),vérifiant X (0) = (x 0 ,ϑ 0 ) et X (T ) =
(x T ,ϑ T ), telle que
( A˙
s (X), Y ) = 0, ∀Y ∈ H 1 00 (0, T ; R2 ),
avec
( ˙ A s (X), Y ) def
=
∫ T
0
[(ẋ + ˙ϑ)( ˙ Y 1 + ˙ Y 2 ) + mẋ ˙ Y 1 + ϑY 2 − uY 1 ](s)ds .
En supposant que les fonctions soient suffisamment régulières pour
que l’on puisse intégrer par partie, on obtient :
∫ T
0
[((1 + m)ẍ + ¨ϑ + u)Y 1 + (ẍ + ¨ϑ − ϑ)Y 2 ](s)ds = 0 .
Ce qui entraîne les équations annoncées du mouvement .
2. Les équations du mouvement complet, obtenues par la même technique,
sans se préoccuper des conditions aux limites, sont :
(1 + m)ẍ + d dt (cos(ϑ) ˙ϑ) =−u, ẍ cos ϑ + ¨ϑ − sin(ϑ) = 0 .
9.2.2. LA COMMANDE NON OPTIMALE. STABILITÉ DU MOUVEMENT.
1. On cherche des solutions de la forme (x,ϑ)e λt avec (x,ϑ) ∈ R 2 .En
substituant dans les équations du mouvement, on obtient :
((1 + m)x + ϑ)λ 2 =−cx − dϑ ,
ce qui se réécrit
avec
(x + ϑ)λ 2 − ϑ = 0 .
(
x
A
ϑ
)
= 0 ,
(
A def (1 + m)λ
=
2 + c d + λ 2
λ 2 λ 2 − 1
et donc λ devra être solution de det A = 0.
2. La fonction det A est un polynôme du second degré enµ def
= λ 2 ,et
donc :
• soit les racines en µ sont toutes les deux réelles négatives et le
système est oscillant,
• soit une des racines n’est pas réelle négative, et on a alors,
forcément, une racine en λ à partie réelle positive, et le système
est instable.
FORMES CANONIQUES ET APPLICATIONS.
)