Introduction à la commande stochastique v.0.9 - Jean-Pierre ...

4. SYSTÈMES POSITIFS ET ROBUSTESSE DU RÉGULATEUR LQ 105
PREUVE. L’équation de Riccati implique
(sI + A ′ )P + P(A − sI) − PBR −1 B ′ P + C ′ QC = 0 .
En multipliant cette équation à gauche par −B ′ (sI + A ′ ) −1 et à droite par
(sI − A) −1 B et en ajoutant R − R on obtient
R + H ♭ QH = B ′ P(sI − A) −1 B − B ′ (sI + A ′ ) −1 PB
−B ′ (sI + A ′ )PBR −1 B ′ P(sI − A) −1 B + R ,
qui se réécrit
R(F − I ) + (F ♭ − I )R + (F ♭ − I )R(F − I ) + R = R + H ♭ QH ,
d’où lapremière partie du théorème en remarquant que le membre de
gauche vaut F ♭ RF.
La stabilité deF −1 provient de la stabilité dusystème régulé parun
contrôleur LQ. En effet on a dans le cas mono-entrée
1 − K (sI − A + BK) −1 B = (1 + K (sI − A) −1 B) −1 , (3.1)
qui montre que le système optimal peut être vu comme la mise en feedback
avec une rétroaction unitaire du système K (sI − A) −1 B (qui correspond à
ouvrir la boucle au niveau du contrôle).
De ce lemme on déduit des résultats sur la marge de stabilité dusystème
par un contrôleur LQ optimal.
COROLLAIRE 3.3. Le système mono-entrée mono-sortie commandéparle
régulateur LQ optimal donne un lieu de Nyquist du système en boucle ouverte
restant en dehors du cercle de rayon unité centré en(−1, 0) dans le
plan complexe.
PREUVE. OnaF ♭ RF = R + H ♭ QH grâce au lemme précédent et
puisque que Q ≥ 0ona[F ♭ RF]( jω) ≥ R et donc |F(J ω)| ≥1mais
F(s) = 1+K (sI− A) −1 B et donc le lieu de Nyquist de K (sI− A) −1 B reste
en dehors du cercle de rayon unité centré en(−1, 0). Lerésultat découle
alors de l’interprétation de l’égalité (3.1).
REMARQUE 3.4. Il est intéressant de remarquer que l’on a obtenu ainsi
la commande optimale en feedback sur la sortie et non pas sur l’état. Ce
résultat ne sera applicable que dans le cas ou le système en boucle ouverte
est stable et d’inverse stable ce qui est rarement suffisant en pratique.
4. SYSTÈMES POSITIFS ET ROBUSTESSE DU RÉGULATEUR
LQ
Ce paragraphe reprend des parties de [57, 56, 52]. On définit les
systèmes positifs. On montre que la synthèse des contrôleurs par la méthode
LQ conduit à des systèmes bouclés positifs. On montre que ces systèmes
restent stables lorsqu’ils sont soumis à des perturbations nonlinéaires à
condition qu’elles appartiennent àdescônes dont on precisera la frontière.