Introduction à la commande stochastique v.0.9 - Jean-Pierre ...

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6 TABLE DES MATIÈRES On parle des chaînes de Markov d’un point de vue ancien, c.a.d plus analytique que probabiliste. Les probabilités apparaissent surtout au niveau de la modélisation des motivations. Les raisonnements sont analytiques sur la loi de probabilitédéfinie. C’est la façon de faire de Pallu De La Barrière dans son livre d’automatique, ou de Gantmacher dans son livre sur les matrices. On favorise souvent les manipulations des matrices au détriment de l’espérance conditionnelle. La raison est claire : la manipulation des matrices est mieux connue que l’espérance conditionnelle — bien que cette dernière s’applique à des situations beaucoup plus générales. De plus, le point de vue probabiliste est beaucoup plus adapté àladémonstration de théorèmes limites qu’aux méthodes numériques nécessaires aux calculs effectifs — dès que l’on sort des quelques cas trés particuliers faisables àla main. Enfin la manipulation matricielle est à la base de toute l’ingénierie actuelle. Nous manipulerons, donc, surtout, les matrices stochastiques. L’économie de temps faite par ces deux premiers choix permet d’aller plus loin dans la résolution numérique des problèmes. Privilégier cette résolution numérique est le troisième choix fait dans cet exposé. Il nous semble, en effet, sûrement à tort, que ces problèmes sont, en fait, relativement bien compris au fond. Par contre, il y a de grosses difficultés àles appliquer, dans le cas général, y compris en utilisant de gros ordinateurs, du fait de la complexité exponentielle du calcul avec la dimension du système. Il faut structurer, simplifier, agréger pour diminuer cette complexité. Nous avons indiqué quelques pistes dans cette direction : -méthodes de perturbations, -séparation des variables. Le quatrième choix privilégie l’algèbre à l’analyse. Depuis quelques années, des structures algébriques sous-jacentes aux problèmes d’optimisation sont apparues. Elles font apparaitre une dualité entre l’optimisation et les probabilités. Chaque fois que cela a été possible, dans ce cadre introductif, cette dualitéaété explicitée. Enfin la commande des chaînes de Markov est plus développée dans ce texte que la partie LQG. Ce choix a été fait pour deux raisons. Les structures discrètes sont plus faciles à utiliser que les espaces gaussiens. La théorie des systèmes est peu enseignée en dehors de certaines écoles d’ingénieur, malgré son grand intérêt pratique et théorique. Nous avons voulu donner, dans ce cours, seulement une ouverture à ce domaine. Malgré son apparence spécialisée, cet exposé veut avoir une portée trés générale. Les chaînes de Markov sont la meilleure illustration que nous connaissons de la notion d’état.Lanécessitéderétroactions pour faire fonctionner un système s’est imposée dès l’antiquitéetlaprogrammation dynamique est le seul moyen général de les optimiser. La version détermiste, temps continue, de l’équation de la programmation dynamique n’est autre que l’équation d’Hamilton-Jacobi qui est centrale en mécanique analytique, elle même centrale en physique. Les méthodes de perturbations ont acquis depuis longtemps leurs lettres de noblesse en physique. Quant aux méthodes
TABLE DES MATIÈRES 7 de séparation des variables trés liées àlathéorie des groupes montrent àla fois la puissance et les limites de la recherche de solutions explicites. Par ce cours nous avons voulu à la fois : -expliquer des outils utiles àdes gestionnaires, -illustrer, dans une situation mathématiquement différente, des idées rencontrées en physique, -développer des outils fondamentaux en automatique.
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