Introduction à la commande stochastique v.0.9 - Jean-Pierre ...

54 3. COMMANDE OPTIMALE STOCHASTIQUE
et donc
A n+1 (v n − v n+1 ) − w n + w n+1 ≤ 0 ,
et donc le même raisonnement que celui prouvant la positivitédew n
montre que :
w n − w n+1 ≥ 0 ⇒ w n ≥ w n+1 .
• PASSAGE À LA LIMITE SUR L’INDICE D’ITÉRATION n.Onau n ∈ F
compact, il existe donc une sous suite (s n′ ) convergente. Notons s ∗
sa limite. Le lieu du spectre de A s , s ∈ S F est compact puisque u →
λ A s ,où λ désigne une valeur propre, est continue et que l’ensemble
des stratégies est compact. Et donc, puisque ∀s ∈ S F les chaînes de
Markov sont irréductibles, il existe un voisinage de 0 dans le plan
complexe ne contenant aucune autre valeur propre de A s que 0, ∀s ∈
S F . Donc en utilisant la semi-simplicitédelavaleurpropre0,ilexiste
k réel positif :
‖A n | −1
R(A n ) ‖≤k
où R(A n ) désigne l’image de A n . La suite (v n ) reste donc bornée.
Il existe donc une sous-suite notée n” telle que:
A n”+1 → A ∗ ,
v n” → v ∗ ,
v n”+1 → v ∗∗ ,
w n”+1 → w ∗ ,
w n” → w ∗ ,
c n”+1 → c ∗ .
On a alors
A n”+1 v n”+1 + c n”+1 − w n”+1 = 0 ,
A n”+1 v n” + c n”+1 ≤ A s v n” + c s , ∀s ∈ S F .
En passant à la limite sur n” on obtient :
A ∗ v ∗∗ + c ∗ − w ∗ = 0 ,
A ∗ v ∗ + c ∗ ≤ A s v ∗ + c s , ∀s ∈ S F ,
A ∗ v ∗ + c ∗ − w ∗ ≤ 0 ,
et donc en notant ṽ = v ∗ − v ∗∗ :
A ∗ ṽ ≤ 0 .
Montrons que A ∗ ṽ = 0. Si x désigne un indice ∈ E où ṽ atteint son
minimum (A ∗ ṽ) x ≥ 0 et donc
(A ∗ ṽ) x = 0 , (5.3)