Introduction à la commande stochastique v.0.9 - Jean-Pierre ...

104 7. PROPRIÉTÉS DES RÉGULATEURS LQ
et donc en utilisant les produits scalaires de L 2 ((−∞, ∞); R n ) noté V n on
a
J (u) =〈h ∗ u + ξ, Q(h ∗ u + ξ)〉 Vp +〈u, Ru〉 Vm .
On doit minimiser J (u) sur V m
+ def
={u ∈ V m : u(t) = 0, ∀t ≤ 0}. Ce
problème admet une solution unique puisque Q est définie positive et R est
positive.
Réécrivons J (u) sous une autre forme 3
J (u) = u ♭ ∗ (h ♭ ∗ Qh + R) ∗ u + 2ξ ♭ ∗ Qh ∗ u + ξ ♭ ∗ Qξ ,
qui devient en utilisant la factorisation 4 h ♭ ∗ Qh+ R = f˜
♭ ∗ f˜
avec f˜
∈ V + 5
m 2
et en passant dans le domaine fréquentiel pour pouvoir justifier l’utilisation
d’inverse de convolution
J (u) = J (U) =‖˜FU + ( ˜F ♭ ) −1 H ♭ Q‖ 2 + ♭ Q −‖( ˜F ♭ ) −1 H ♭ Q‖ 2 .
Minimiser J (U) revient alors à minimiser
L(U) =‖˜FU + ( ˜F ♭ ) −1 H ♭ Q‖ 2
=‖{˜FU + ( ˜F ♭ ) −1 H ♭ Q} + ‖ 2 +‖{˜FU + ( ˜F ♭ ) −1 H ♭ Q} − ‖ 2
=‖˜FU +{( ˜F ♭ ) −1 H ♭ Q} + ‖ 2 +‖{( ˜F ♭ ) −1 H ♭ Q} − ‖ 2 ,
puisque f˜
∗ u ∈ V m + . Le contrôleur optimal vaut alors
U = ˜F −1 {( ˜F ♭ ) −1 H ♭ Q} + .
Pour achever la démonstration précédente on a besoin du lemme suivant qui
est également important pour obtenir des propriétés qualitatives des régulateurs
LQ.
LEMME 3.2 (factorisation). Si (A, B, C) est commandable et observable
on a
H ♭ QH + R = F ♭ RF ,
avec
F = I + K (sI − A) −1 B ,
où K est obtenu en résolvant l’équation de Riccati du problème LQ:
K = R −1 B ′ P, A ′ P + PA− PBR −1 B ′ P + C ′ QC = 0 .
D’autre part F −1 est stable.
On appelle erreur de retour la fonction de transfert F car on peut la voir
comme la différence de I et de −K (sI − A) −1 B retour de la boucle.
3 〈 f, g ∗ h〉 =〈g ♭ ∗ f, h〉.
4 L’ existence d’une telle factorisation sera prouvé dans le lemme suivant.
5 On a noté V m 2
def
= L 2 ((−∞, ∞); R m×m ).