Introduction à la commande stochastique v.0.9 - Jean-Pierre ...

42 2. CHAÎNES DE BELLMAN
plus précisemment on a
M p m,σ ⋆ M p¯m, ¯σ = M p avec 1/p + 1/p ′ = 1 .
m+¯m,[σ p′ +¯σ p′ ] 1/ p′
3.4. LES THÉOREMES LIMITES POUR LES VARIABLES DE DÉCISION
On étudie le comportement asymptotique de sommes de variables de
décision indépendantes lorsque le nombre de termes tend vers l’infini. Pour
cela on doit définir les topologies utilisées. Nous ne considérons ici que les
deux types de convergence les plus importants.
DÉFINITION 3.10. Pour une suite de variable de décisions {X m , m ∈ N} on
dit que
1. X m converge faiblement vers X, que l’on note par X m → w X, si pour
tout f dans C b (E) (où C b (E) désigne l’ensemble des fonctions continues
bornées inférieurement de E dans R min ),
lim M[ f (X m )] = M[ f (X)] .
m
2. X m ∈ D p converge en p-sensibilité vers X ∈ D p , notée X m D p
−→ X,
si lim m ‖X m − X‖ p = 0 .
On peut montrer le théorème suivant
THÉORÈME 3.11. La convergence en sensibilité entrainelaconvergence
faible et la réciproque est fausse.
On peut alors énoncer l’analogue de la loi des grands nombres et du
théorème de la limite centrale.
THÉORÈME 3.12 (des grands nombres et de la limite centrale). Etant donnée
la suite {X m , m ∈ N} de variables de décision indépendantes et de
coûts identiques (i.c.i.) appartenant D p , ∞ > p ≥ 1, on a
lim
N→∞
1
N
∑N−1
m=0
X m = O(X 0 ),
où la limite est prise au sens de la convergence en p-sensibilité.
De plus si les X m sont centrées
N−1
1
w − lim
N N
1/ p′
∑
m=0
X m = X, avec 1/p + 1/p ′ = 1 ,
où X est une variable de décision de coût égal à M p 0,σ p (X 0 ) .
3.5. TRANSFORMÉE DE CRAMER
La transformée de Cramer définie par (C def
= F ◦ log ◦L,où L désigne la
transformée de Laplace) transforme les mesures de probabilités en fonction
convexes et les convolutions en inf-convolutions :
C( f ∗ g) = C( f )⋆C(g).