Introduction à la commande stochastique v.0.9 - Jean-Pierre ...

7. FILTRAGE ET COMMANDE EN OBSERVATION INCOMPLÈTE 141
8. Par identification avec
Ĥ(δ) = ⊕ t
H t ⊗ δ t
on peut déterminer les coefficients H t . L’expression Ŷ = Ĥ(δ) ⊗ Û
montre alors que
Y t = inf {H t−s + U s }
s≥0
c.a.d. que Y est obtenu en faisant l’inf-convolution de l’entrée U
avec H qui peut être considérée comme la réponse impulsionnelle
du système.
Physiquement les coefficients H t de la réponse impulsionnelle
sont obtenus en rendant disponible une suite infini de données à
l’entrée à l’instant 0 et en observant le nombre de sorties obtenu jusqu’a
l’instant t.
9. La modélisation dateur du processeur s’écrit
X 1 n = max{U n, 1 + X 2 n−2 , 2 + X 1 n−1 } ,
X 2 n = max{2 + X 1 n , 1 + X 2 n−1 } ,
Y n = 1 + X 2 n .
7. FILTRAGE ET COMMANDE EN OBSERVATION
INCOMPLÈTE
7.1. ENONCÉ
Les deux questions sont indépendantes bien qu’il y ait une progression
dans les notions utilisées.
7.1.1. FILTRAGE. On considère une chaîne de Markov à2états dont la
probabilitédesauterdel’état 1 àl’état 2 est égale à celle de sauter de l’état
2àl’état 1 et vaut p inconnu pouvant prendre les valeurs p 1 ou p 2 avec
0 < p i < 1 pour i = 1, 2. On observe la trajectoire de la chaîne. On
suppose qu’a priori il y ait une probabilité de 1/2 pour que la valeur de p
soit p 1 et donc une valeur de 1/2 pour qu’elle soit p 2 .Audépart la chaîne
de Markov est dans l’état 1.
1. Ramenez le calcul de la probabilité a postériori que p soit égal à
p 1 (aprés n observations de l’état) à un problème de filtrage d’une
chaîne de Markov sur un autre espace d’états.
2. Donnez l’équation récurrente satisfaite par l’espérance conditionnelle
pour que p = p 1 ou p 2 connaisant la trajectoire passée des
états de la chaîne initiale.
3. Supposons avoir observé la suite d’états (1,2,1,1). Quelle est la probabilité
conditionnelle que p = p 1 .
4. Supposons avoir observé k changements d’états pour N + 1 observations
quelle est la probabilité conditionnelle pour que p = p 1 .